ベクトルです。オレンジの線を引いた式がどうやってできたか理解できません。

式変形と、図形とでそれぞれで導出します

$$まず、式変形の方から\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}　から　　\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+k\overrightarrow{DG}$$

$\overrightarrow{DG}を、A$を用いて表して

$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}-k\overrightarrow{AD}+k\overrightarrow{AG}$$

$$\overrightarrow{AE}=(1-k)\overrightarrow{AD}+k\overrightarrow{AG}$$

今度は図形の方からもみましょう　(多分こっちの方が分かりやすい)

下図は四つの点の関係をのせたものです。$D,G,E$は同一直線上にいるので、四点は同一平面上にあることが分かります。ですから$k$を用いて$3$点の関係を出して内分点の公式で$\overrightarrow{AG}$を求め、

$$\overrightarrow{AG}=\dfrac{(k-1)\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}{k}$$

これを変形することによりオレンジ線部のところが求まります