確率の問題です。

余事象「$n$人でじゃんけんをするとき、勝負がつく」確率を求める。

$n$人の手の出し方は$3^n$通り。あいこにならないのは全員の出した手が2種類であるとき。よって、$2^n-2$通り。2種類の手は「グーとチョキ」「チョキとパー」「グーとパー」の$3$通りあるので、$3(2^n-2)$通り。

よって、勝負がつく確率は

$$\frac{3(2^n-2)}{3^n}=\frac{2^n-2}{3^{n-1}}$$

従って、あいこになる確率は

$$1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}$$