• 解決済み

    @tmoo

    2023/10/14 19:10

    1 回答

    帰納法と演繹法の違いってなんでしょうか？

    教えてください。

    具体例もあると嬉しいです。

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    @manimani1

    2023/10/15 0:59

    例えば「奇数の2乗は奇数になる」ということを証明すると、


    nn を整数とすると奇数は 2n+12n+1 と表せるので、

    (2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1(2n+1)^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1

    2n2+2n2n^2+2n は整数なので 2(2n2+2n)+12(2n^2+2n)+1 は奇数である。

    よって、奇数の2乗は奇数になる。


    このような普通な証明（？）が演繹法だと思って大丈夫かと思います。。。



    数学的帰納法は何個か種類がありますが、

    ① n=1n=1 の時を証明

    ② n=kn=k で成り立つと仮定して n=k+1n=k+1 の時を証明

    というのが一番多い証明の流れですね..

    例えば「1+2+⋯+n=12n(n+1)1+2+\cdots +n=\dfrac{1}{2}n(n+1)」という式を数学的帰納法を使って証明するなら、


    n=1n=1 の時、(右辺) =12・1・2=1=\dfrac{1}{2}・1・2=1 となるので成立。

    n=kn=k の時に式が成立すると仮定するとn=k+1n=k+1 の時、

    1+2+⋯+k+(k+1)=12k(k+1)+(k+1)1+2+\cdots+k+(k+1)=\dfrac{1}{2}k(k+1)+(k+1)

    =(k+1)(12k+1)=12(k+1)(k+2)=(k+1)(\dfrac{1}{2}k+1)=\dfrac{1}{2}(k+1)(k+2)

    となるので成立。

    よって、すべての自然数 nn に対して式が成り立つ。


    という感じになります;;

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