極限の２通りの部分和という分野がまっっっっっっっっったくわかりません。

次のように順を追って考えてみたら分かりやすいかもしれません。

数列のパターンを見て下さい。

1項目までの和…1

3項目までの和…1

($\dfrac{1}{2}$が打ち消し合う)

5項目までの和…1

($\dfrac{1}{2}$と$\dfrac{1}{3}$が打ち消し合う)

7項目までの和…1

($\dfrac{1}{2}$〜$\dfrac{1}{4}$が打ち消し合う)

こうしてみると、奇数項までの和は、全て最初の1以外が打ち消し合って1になります。

これを数式で表現します。次のように考えます。

この1、3、5、7…の並びを見てみると、

1項目は1

2項目は3

3項目は5

4項目は7

…

n項目は2n-1

という関係が見えます。

そうすると「2n-1項目までの和は全て1になる」と言えます。

2n-1項目までの和を、数学では$S_{2n-1}$と表現します。

そうすると、$S_{2n-1}=1$となります。

【偶数項の場合】

では、偶数項までの和はどうなるでしょうか。

2項目までの和…1-$\dfrac{1}{2}$

4項目までの和…1-$\dfrac{1}{3}$

($\dfrac{1}{2}$が打ち消し合う)

6項目までの和…1-$\dfrac{1}{4}$

($\dfrac{1}{2}$と$\dfrac{1}{3}$が打ち消し合う)

こうしてみると、偶数項までの和は、全て最初の1と最後の分数以外が打ち消し合って、「1-最後の分数」の形になります。

奇数の場合と同じように、偶数2、4、6…の並びを見てみると、

1項目は2

2項目は4

3項目は6

…

n項目は2n

という関係が見えます。

そうすると「2n項目までの和は全て1-最後の分数になる」と言えます。

2n項目までの和を、数学では$S_{2n}$と表現します。

そうすると、$S_{2n}=1-最後の分数$となります。

では、「1-最後の分数」を数式でどう表現したら良いでしょうか。先ほどの2、4、6の並びに、「→」で最後の分数を追記してみます。

1項目は2→$\dfrac{1}{2}$

2項目は4→$\dfrac{1}{3}$

3項目は6→$\dfrac{1}{4}$

…

n項目は2n→$\dfrac{1}{n+1}$

という関係が見えます。

そうすると「2n項目までの和は全て$1-\dfrac{1}{n+1}$になる」と言えます。

したがって、2n項目までの和は

$S_{2n}=1-\dfrac{1}{n+1}$