解決済み

媒介変数表示、陰関数、極方程式の曲線の書き方や例を教えてください。

補足

{y=f(θ)y=g(θ)\begin{cases}y=f(\theta) \\y=g(\theta)\end{cases}

という式の意味などです。

ベストアンサー

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媒介変数表示は変数x,yx,yを共通する変数(t,θt,\thetaなど)の関数で表そう、というものです。

例えば単位円上の点P(x,y)P(x,y)

x2+y2=1x^2+y^2=1

で表せますが、xx軸と線分OPOPのなす角をθ\thetaとすれば

{x=sinθy=cosθ\begin{cases}x=\sin\theta\\y=\cos\theta\end{cases}

と書けます。


陰関数というのは(文字式)=0=0の形で書かれる関数です。

例えば上記の単位円は陰関数での書き方だと

x2+y21=0x^2+y^2-1=0

となります。独立変数が1つだと変な書き方だなと感じるかもですが、

これが変数1010とかだと結構便利な書き方ですね。

微分方程式の解なども基本的に陰関数の形で得られます。


極方程式は直交座標形式(x,y)(x,y)を極座標(r,θ)(r,\theta)で置き換えたものです。

媒介変数表示の例で挙げた単位円を半径rrで置き換えたものです。

(x,y)=(rsinθ,rcosθ)(x,y)=(r\sin\theta,r\cos\theta)

ですね。



さて、曲線の書き方ですが、基本的には一般的な関数y=f(x)y=f(x)のときと変わりません。xxで微分して関数の形を調べます。


例えば関数y=f(x)=x2+2x+1y=f(x)=x^2+2x+1なら

f(x)=2x+2,f(x)=2f'(x)=2x+2,f''(x)=2

なのでf(x)=0f'(x)=0となるxxx=2x=-2で常に下に凸です。

増減表を書けばすぐにわかると思いますのでグラフは省略です。


さて、同様に媒介変数表示はどうなのか。

同じようにyyxxで微分します。直接y=f(x)y=f(x)と式変形できれば簡単ですが、そうできない場合もたくさんあります。

その場合どうすればいいかと言えば、合成関数の微分を使えばいいわけです。

媒介変数をttだとすると

dydx=dydtdtdx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}


あとは一緒です。増減表を書いてその通りにグラフを書きます。


参考になりましたでしょうか。

ほとんどが教科書の内容なので、定義のあたりをもう一度読み込むことをお勧めします。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

ありがとうございます とてもよく理解できました

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