媒介変数表示、陰関数、極方程式の曲線の書き方や例を教えてください。

媒介変数表示は変数$x,y$を共通する変数($t,\theta$など)の関数で表そう、というものです。

例えば単位円上の点$P(x,y)$は

$$x^2+y^2=1$$

で表せますが、$x$軸と線分$OP$のなす角を$\theta$とすれば

$$\begin{cases}x=\sin\theta\\y=\cos\theta\end{cases}$$

と書けます。

陰関数というのは(文字式)$=0$の形で書かれる関数です。

例えば上記の単位円は陰関数での書き方だと

$$x^2+y^2-1=0$$

となります。独立変数が1つだと変な書き方だなと感じるかもですが、

これが変数$10$とかだと結構便利な書き方ですね。

微分方程式の解なども基本的に陰関数の形で得られます。

極方程式は直交座標形式$(x,y)$を極座標$(r,\theta)$で置き換えたものです。

媒介変数表示の例で挙げた単位円を半径$r$で置き換えたものです。

$$(x,y)=(r\sin\theta,r\cos\theta)$$

ですね。

さて、曲線の書き方ですが、基本的には一般的な関数$y=f(x)$のときと変わりません。$x$で微分して関数の形を調べます。

例えば関数$y=f(x)=x^2+2x+1$なら

$$f'(x)=2x+2,f''(x)=2$$

なので$f'(x)=0$となる$x$は$x=-2$で常に下に凸です。

増減表を書けばすぐにわかると思いますのでグラフは省略です。

さて、同様に媒介変数表示はどうなのか。

同じように$y$を$x$で微分します。直接$y=f(x)$と式変形できれば簡単ですが、そうできない場合もたくさんあります。

その場合どうすればいいかと言えば、合成関数の微分を使えばいいわけです。

媒介変数を$t$だとすると

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$$

あとは一緒です。増減表を書いてその通りにグラフを書きます。

参考になりましたでしょうか。

ほとんどが教科書の内容なので、定義のあたりをもう一度読み込むことをお勧めします。