解決済み

媒介変数(t)の2回微分についてですが、

(d²y/dx²)=(dt/dx)・(d/dt)(dy/dx)と表せますが、

右辺を(d/dt)・(dt/dx)(dy/dx)と変形できないのはなぜですか?(d²y/dx²)=(dt/dx)・(d/dt)(dy/dx)という形は定義のようなものですか?

ベストアンサー

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d2ydx2=ddt(dydx)dtdx\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\cdot\dfrac{dt}{dx}

の式において

ddt(dydx)\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)

は関数dydx\dfrac{dy}{dx}ttで微分することなので、順序を入れ替えるというのは余計な関数を掛け合わせてから微分する、という意味に変わってしまします。


例えばf(x)=x2,g(x)=x3f(x)=x^2,g(x)=x^3において

ddxf(x)g(x)=(2x)x3=2x4\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)=(2x)\cdot x^3=2x^4

ですが、順番を入れ替えてしまうと

ddx(f(x)g(x))=ddxx5=5x4\dfrac{d}{dx}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\dfrac{d}{dx}x^5=5x^4

となってしまいます。

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