写真の問題についてですが、わからないことが2つあります。 ①赤枠のところに逆関数と元の関数はy=xについて対称だから逆関

Question

写真の問題についてですが、わからないことが2つあります。

①赤枠のところに逆関数と元の関数はy=xについて対称だから逆関数と元の関数の交点はy=xと元の関数の交点と同じと書かれていますが、実際に問題のグラフを図示すれば確認できるのですが、なぜy=xで対称だとy=x上に交点を持つのかがイマイチわからないです

②赤線部にグラフの凹凸が異なるときと書かれていますが、逆にグラフの凹凸が異なるという意味がわからないてす。

以上の2点について解説おねがいします。

@DoubleExpYui · Accepted Answer

A.2関数が交点を持つ

2関数 $y=f(x),y=g(x)$ 上の点 $(a,f(a)),(b,g(b))$ の距離が0となる点の組み合わせ( $a=b,f(a)=g(b)$ となる $a,b$ )が存在するということに等しい。

B.2関数が直線 $y=x$ について対称

関数 $y=f(x)$ 上の任意の点 $(a,f(a))$ と直線 $y=x$ について対称となる点 $(f(a),a)$ が関数 $y=g(x)$ 上にあるということに等しい。

C.2点が直線 $y=ax$ について対称

それぞれの点と直線との距離が等しい。

以上のことから、直線 $y=x$ について対称である2関数が交点(距離が0の点の組み合わせ)を持つなら、その交点は直線 $y=x$ 上(点と直線の距離が0)に存在すると言える。

2.グラフの凹凸が異なるという意味がわからない

増減表で見ればいいのではないでしょうか？