なぜかまた積分です。$$I=\int \dfrac{x-1}{x\sqrt[3]{x-8}} dx$$を求められる方はいらっしゃいますか？僕は答えがえげつなくなってしまったので自信なしです。

僕と同じ値でした。ありがとうございます。結構骨の折れる計算で、ミスしてないかヒヤヒヤでしたが、同じ値の方がおりましたので安心です。感謝です。ありがとうございます!!!!!!!!

検算してみたら少し答えが変わったので、過程も含めて書きます。

初めに(C:積分定数)と断っておきます。(面倒なので)

$$I=\int \dfrac{x-1}{x \sqrt[3]{x-8}}dx$$

$x-8=t$とおいて、

$$I=\dfrac{t+7}{(t+8)t^{\frac{1}{3}}}dt$$

$t^{\frac{1}{3}}$=uとおいて、　$\dfrac{du}{dt}=\dfrac{t^{-\frac{2}{3}}}{3}=\dfrac{1}{3u^2}$

$$I=\int 3u \dfrac{u^3+7}{u^3+8}du=\int \Bigl(3u-\dfrac{3u}{u^3+8} \Bigr)du$$

$$ここで、\int \dfrac{u}{u^3+8}du　　について$$

$$\int \dfrac{u}{u^3+8}du=\dfrac{1}{6} \int \Bigl(\dfrac{u+2}{u^2-2u+4}-\dfrac{1}{u+2} \Bigr)du　(ここの変形は割愛します…)$$

$$=\dfrac{1}{6}\Bigl(\int {\dfrac{u-1}{u^2-2u+4}}du+\int {\dfrac{3}{u^2-2u+4}}du-\log|u+2|\Bigr)+C$$

$$=\dfrac{1}{6} \Bigl (\dfrac{1}{2}\log(u^2-2u+4) +\int {\dfrac{3}{u^2-2u+4}}du-\log|u+2|\Bigr)+C$$

$$ここで、\int {\dfrac{3}{u^2-2u+4}}du　について$$

$$\int {\dfrac{3}{u^2-2u+4}}du=\int {\dfrac{3}{(u-1)^2+3}}du$$

$\dfrac{u-1}{\sqrt{3}}=\tan v$として、　$\dfrac{du}{dv}=\dfrac{\sqrt{3}}{\cos ^2 v}$　よって、

$$\int \sqrt{3} dv=\sqrt{3}v+C=\sqrt{3}\tan ^{-1} \Bigl(\dfrac{u-1}{\sqrt{3}}\Bigr)+C$$

したがって、

$$\int \dfrac{u}{u^3+8}du=\dfrac{1}{6} \left( \dfrac{1}{2} \log{\dfrac{u^2-2u+4}{(u+2)^2}}+\sqrt{3}\tan ^{-1} \Bigl(\dfrac{u-1}{\sqrt{3}}\Bigr) \right)+C$$

ゆえに、

$$I=\dfrac{3}{2}u^2-\dfrac{1}{4} \log{\dfrac{u^2-2u+4}{(u+2)^2}}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \tan ^{-1} \Bigl(\dfrac{u-1}{\sqrt{3}}\Bigr)$$

$$=\dfrac{3}{2}u^2-\dfrac{1}{4} \log\left(1-\dfrac{6u}{(u+2)^2}\right)-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \tan ^{-1} \Bigl(\dfrac{u-1}{\sqrt{3}}\Bigr)$$

最後になりますが、元にもどします(骨を折りすぎです^^;)

答えは、

$$I=\dfrac{3}{2}(x-8)^{\frac{2}{3}}-\dfrac{1}{4} \log\left(1-\dfrac{6(x-8)^{\frac{1}{3}}}{((x-8)^{\frac{1}{3}}+2)^2}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2} \tan ^{-1} \Bigl(\dfrac{(x-8)^{\frac{1}{3}}-1}{\sqrt{3}}\Bigr)+C$$

よく解けました!!　あってるかは不明

返信の欄には到底入らないのでものすごい分割になってしまいました(笑)

見にくくてすみません

たぶんこれであってるかなぁと個人的に思います。

なにか変なところがあれば何でも言ってください！

返信気づかずすみません

マジで疲れました。僕も苦労しましたけどこれをtexで書き上げたあなたもすごいと思います。ありがとうございます!!!

いや～照れますね、

こうやって誰かに久しくなかったので感謝されるのはいいですね！(笑)