もし暇な人がいれば解いてみてほしいです。問題の面白さや、難易度感（例えば、これを入試で出してもよいか、出るとしたらどのレベルかなど）もコメント頂けると嬉しいです。数Ⅲの問題です。希望して頂ければ採点もします。また、問題の完答率がどの程度になるかという予想もして頂けると参考になります。（こちらの想定では40%程度かなと思っています。）

ベストアンサー

kirby 2023/8/28

採点していただけるとありがたいです。

完答率は30~40%ほどになるのではないでしょうか。

補足

(2)の積分部分ですが、dzを書き忘れていました。

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  atozkoxo 2023/8/28

  申し訳ありませんが、画像が不鮮明で記述が見ずらく、採点が難しいです。

  もし可能でしたら、大きな字で書き直していただくなどで見やすい画像をアップロードして頂けると採点可能です。

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  kirby 2023/8/29

  長くなってしまったので分けて送ります。

  (1)$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1…①$を$x$軸まわりに一回転させた$C$の表面を曲面$C$とする。

  曲面$C$上に点$(x,y,z)$があるということは、曲面$C$上の点$(x,p,0)$で、$p^2=y^2+z^2…②$なるものが存在する。

  ②を$p$について解き、$|p|=\sqrt{y^2+z^2}$という形で、パラメータ$p$を$y,z$で表すことができる。

  このときの点$(x,p,0)$が①上にあることが、曲面$C$上に点$(x,y,z)$がある条件になるので、$C$の方程式は

  $$y^2+z^2=b^2(1- \dfrac{x^2}{a^2}) \\\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{b^2}=1$$

  となり、$C$は楕円体。$z=t(-b<t<b)$で切断するので、代入して

  $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1-\dfrac{t^2}{b^2}$$

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  kirby 2023/8/29

  これは断面を$xy$平面に正射影したものの図形となるので、$-b<t<b$より楕円となる。

  (2)$C$の体積は$V_C=\dfrac{4}{3}πab^2$.$D$が$(2a,2b,b)$より$\dfrac{b}{2}<z<b$, $-\dfrac{b}{2}>z>-b$の範囲で$C$が共通でない。

  $z$軸に垂直な楕円の面積が$πab(1-\dfrac{z^2}{b^2})$となるので

  $$\int_{\dfrac{b}{2}}^{b}πab(1-\dfrac{z^2}{b^2})=\dfrac{1}{24}πa(12b^2-7b^4)$$

  より、

  $$V= \dfrac{4}{3}πab^2-\dfrac{1}{12}πa(12b^2-7b^4)=\dfrac{1}{12}πa(7b^4+4b^2)$$

  
  

  遅れてしまいすみませんでした。

  採点よろしくお願いします。

  補足

  また積分部分にdzを書き忘れてしまいました。

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  atozkoxo 2023/8/29

  解いていただきありがとうございます。以下に採点結果を載せます。

  (1)…22/25

  大枠は正しいと思いますが、やや意図が伝わりにくい文がありました。

  （例えば、ある$\ x\$での断面が円であることの説明は、一見して意図をくみ取るのが難しかったです。）

  
  

  (2)…13～18/25

  積分計算に誤りがありました。具体的には、$b^4\$ではなく$\ b^2\$になる筈です。つまり、最終的な結果は

  $$V=\frac{11}{12}\pi ab^2$$

  となります。

  また、回転楕円体の体積を既知として良いかは議論が必要でしょう。この体積も簡単な計算で導けるはずですから、その上でこの方法をとれば間違いはないかなと思います。勿論、ある$\ t\$での断面積を$\ S(t)\$として

  $$V=\int^{\frac{b}{2}}_{-\frac{b}{2}}S(t)dt$$

  と直接計算を実行しても正しい値を得ることが出来ます。

  補足

  （２）の採点で13~18としましたが、回転楕円代の体積を既知とするか否かで分かれそうなのでこのように表記しました。方法は間違っていないので減点しすぎかなとも思いましたが、大学によってはこれぐらい引かれるかなと思ってこの点数にしました。

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  kirby 2023/8/29

  ありがとうございます。

  $$-\int_{\dfrac{b}{2}}^{b}\dfrac{z^2}{b^2}$$の計算で

  $\dfrac{1}{b^2}$を忘れ、$z^2$の定積分をしてしました。

  
  

  この問題を解いて、非常に勉強になりました。

  記述の方法や、使う公式等を既知にするかなどや計算ミスには気を付けるようにしたいです。

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  atozkoxo 2023/8/29

  こちらこそ解いていただきありがとうございました。