無限級数はそもそも勝手に順番を変えたり項を勝手に設定したりすることが禁じられていて、たしか収束する項なら分離してそれぞれの収束値を求めて足したりすることは出来たと思います。ですが今回このゼータ関数(1のとき)は普通に一般項1/nの無限級数で、一般項がnを無限大に飛ばすと0に収束するから級数も0に収束するのでは無いですか?理解が曖昧でしたら申し訳ありません。よろしくお願いします。

1. 無限級数はそもそも勝手に順番を変えたり項を勝手に設定したりすることが禁じられていて

→ 順番を変えることができる級数も存在します！（高校数学で数列の入れ替えが問題になることはないので，へぇ～そうなんだ程度でOKです）

たしか収束する項なら分離してそれぞれの収束値を求めて足したりすることは出来たと思います

→ 次の定理と勘違いしていませんか？

数列 $\{ a_n \}$，$\{ b_n \}$ がそれぞれ $\alpha$，$\beta$ に収束するとき

$$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha +\beta$$

2. 一般項がnを無限大に飛ばすと0に収束するから級数も0に収束するのでは無いですか?

→ ちょっと違います．数列 $\{ a_n \}$ に対して

「$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束する $\Longrightarrow$ $a_n$ は $0$ に収束する」

という主張が正確です．

一般に命題の逆は必ずしも成り立ちませんね．この命題の逆の場合，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ 反例となります．

3. 今回，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ を区切って，各パートごとに不等式評価することで

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} > (\infty \text{に発散するもの})$$

であることを証明しています．無限に発散するものよりも大きければ，もちろん無限に発散しますね．こうして $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ が無限大に発散することを証明しています．