こちらの問題がわからないので教えていただきたいです。

２つ解法を紹介します。

１．係数比較

$2<x<3$が解となる二次不等式の１つは$(x-2)(x-3)<0$、

　　つまり$x^2-5x+6<0$です。

ゆえに、

$a<0$のとき$a(x^2-5x+6)>0$ $\Leftrightarrow$ $ax^2-5ax+6a>0$・・・①

　（両辺を$a$で割ると$a$は負なので不等号の向きが逆転する）

$a>0$のとき$a(x^2-5x+6)<0$ $\Leftrightarrow$ $ax^2-5ax+6a<0$・・・②

　（両辺を$a$で割ると$a$は正なので不等号の向きはそのまま）

の解は$2<x<3$となります。

ここで、$x$の１次の項の係数に着目し、この式と問題に載っている式を比較すると、$-5a=5$、つまり$a=-1$

$a<0$より、①に$a=-1$を代入して、$-x^2+5x-6>0$

この式ともとの式を比較して、$b=-6$

以上より、$a=-1$、$b=-6$

２．解の公式を利用

$ax^2+5x+b>0$の解が$2<x<3$なので、

$ax^2+5x+b=0$の解は$x=2,3$

$ax^2+5x+b=0$の解は、解の公式を利用して、

$x=\frac{-5\pm\sqrt{25-4ab}}{2a}$

よって

$$\begin{cases}\frac{-5-\sqrt{25-4ab}}{2a}=2 \\\frac{-5+\sqrt{25-4ab}}{2a}=3 \end{cases}$$

$\Leftrightarrow$

$$\begin{cases}-\sqrt{25-4ab}=4a+5 \\\sqrt{25-4ab}=6a+5 \end{cases}$$

この式が成り立つためには、

$4a+5<0$かつ$6a+5>0$、つまり$-\frac{5}{6}<a<-\frac{4}{5}$・・・③

③の条件下において、先程の連立方程式は、

$$\begin{cases}25-4ab=16a^2+40a+25 \\25-4ab=36a^2+60a+25 \end{cases}$$

よって$16a^2+40a+25=36a^2+60a+25$

$\Leftrightarrow$

$20a^2+20a=0$

$\Leftrightarrow$

$20a(a+1)=0$

$\Leftrightarrow$

$a=0,-1$

③より$a=-1$

このとき、先程の連立方程式は、

$$\begin{cases}25+4b=16-40+25 \\25+4b=36-60+25 \end{cases}$$

つまり、どちらの式も$4b=-24$、つまり$b=-6$

以上より$a=-1$、$b=-6$

以上です！

分かりづらいところ、論理が不完全なところなどあれば遠慮なく指摘してください！