(2)の解き方をわかりやすく教えていただきたいです。どうしてそういう発想が生まれるのかも言っていただけるとありがたいです。

まず $(1)$ を解いて

$$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+x$$

が得られます。ここに至るまでは普通に $3$ 元連立方程式を解く人が多いと思いますが、ここから $P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3$ だから、

$(x-1)(x-2)(x-3)$ で割った余りが $R(x)=x$ となるのは当たり前だよね、と思えれば完璧です。

ここで、$2$ 次関数を決定するのに、情報が何個あればよいかを考えてみます。

通る点が $3$ 点あれば決定できたので、情報は $3$ 個あれば必要十分です。

$ax^2+bx+c$ に未知数が $3$ 個存在することからもわかりますね。

$(1)$では $3$ 点 $(1,1),(2,2),(3,3)$ を通る $2$ 次以下の関数を求めるのと同じことですから、$R(x)=x$ はこれらの $3$ 点を通ることが明らかであり、余りがこの関数に決まります。

これを一般化しましょう。

まず、割る式が $n$ 次式ですから、余りは $(n-1)$ 次以下となります。

余りが $x$ になりそうという予想が立てられるので、それが正しいことを言えれば完了です。

$(n-1)$ 次以下の関数のうち、異なる $n$ 点を通るものはただひとつに決まります。今回は $(1,1),(2,2),\cdots,(n,n)$ の $n$ 点を通る関数を求めるのと同じであり、これは $R(x)=x$ しかありえません。

つまり、$P(x)$ を $(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$ で割った商を $Q(x)$ とおくと、

$$P(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-n)Q(x)+x$$

となります。

具体化と抽象化(一般化)ができるようになると、数学力は向上するでしょう。

また、今回は通る点が簡単だったのと、高校数学を逸脱するので扱いませんでしたが、ラグランジュの補間公式というものがあります。興味があれば調べてみてください。

健闘を祈ります。