(2)の解き方をわかりやすく教えていただきたいです。どうしてそういう発想が生まれるのかも言っていただけるとありがたいです。
ベストアンサー
まず を解いて
が得られます。ここに至るまでは普通に 元連立方程式を解く人が多いと思いますが、ここから だから、
で割った余りが となるのは当たり前だよね、と思えれば完璧です。
ここで、 次関数を決定するのに、情報が何個あればよいかを考えてみます。
通る点が 点あれば決定できたので、情報は 個あれば必要十分です。
に未知数が 個存在することからもわかりますね。
では 点 を通る 次以下の関数を求めるのと同じことですから、 はこれらの 点を通ることが明らかであり、余りがこの関数に決まります。
これを一般化しましょう。
まず、割る式が 次式ですから、余りは 次以下となります。
余りが になりそうという予想が立てられるので、それが正しいことを言えれば完了です。
次以下の関数のうち、異なる 点を通るものはただひとつに決まります。今回は の 点を通る関数を求めるのと同じであり、これは しかありえません。
つまり、 を で割った商を とおくと、
となります。
具体化と抽象化(一般化)ができるようになると、数学力は向上するでしょう。
また、今回は通る点が簡単だったのと、高校数学を逸脱するので扱いませんでしたが、ラグランジュの補間公式というものがあります。興味があれば調べてみてください。
健闘を祈ります。
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そのほかの回答(2件)
どうでしょうか??まだ高校生なので合ってる自信はあんまりないですが、解いてみました。(1)のアナロジーと、波線部分が気持ち悪いなと感じたので答えを予測して、それを示そうという感じでいきました。2枚目は汚いですが実験です。
「帰納的に」のとこは雑にいきました。眠いので寝たいと思いますおやすみなさい💤
削除済みユーザー
「 を で割った余りが である」という条件を、次の連立合同式の形に書きます:
ユークリッドの互除法を使うか、または単なる勘によって つの解 を見つけます。 のすべての解は最小公倍式 を法として互いに合同である(※)ことから、一般解は、 を任意の整式として、
の形に書けます。これらの解の中で、 で割った余りとなりうるもの、すなわち整式の次数が であるものは のみです。よって が問題の答えであると分かります。
※この部分の主張は がどの二つも互いに素であるという事実によっています。
質問者からのお礼コメント
ありがとうございます