• 解決済み

    @R_i_k_u

    2023/3/1 2:12

    1 回答

    環AAのイデアルm\mathfrak{m}に対して、

    m\mathfrak{m}は極大イデアル  ⟺  \iffAA/m\mathfrak{m}が体

    の証明についてです。


    画像の

    「y∈π−1(x)y \in \pi^{-1}(x)となる元をとると、y∈π−1(J)y \in \pi^{-1}(J)＼m\mathfrak{m}である」

    と言える理由と、そこから

    「π−1(J)\pi^{-1}(J)はm\mathfrak{m}を真に含むAAのイデアルである」と導ける理由が分かりません。

    どなたか教えて頂きたいです。




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    削除済みユーザー

    2023/3/1 20:10

    　写真中の証明で行なっているように、JJ が零イデアルでないと仮定します。JJ から非零の元 xx をとります。x≠0x \neq 0 なので、y=π−1(x)∉π−1(0)=my = \pi^{-1}(x) \not\in \pi^{-1}(0) = \mathfrak{m}。つまり、y∈π−1(J)\my \in \pi^{-1}(J)\backslash\mathfrak{m} と言えます。

    　m=π−1(0)⊆π−1(J)\mathfrak{m} = \pi^{-1}(0) \subseteq \pi^{-1}(J) は明らか。これに加え、y∈π−1(J)\my \in \pi^{-1}(J)\backslash\mathfrak{m} が存在するので、π−1(J)≠m\pi^{-1}(J) \neq \mathfrak{m}。つまり、π−1(J)\pi^{-1}(J) は m\mathfrak{m} を真に含むと言えます。


    　しかし、これらの議論はすべて不要です。A/mA/\mathfrak{m} が体であるのは「π−1(J)\pi^{-1}(J) は m\mathfrak{m} を含む」から直ちに証明できるので、JJ が零イデアルでないと仮定して「m\mathfrak{m} を真に含む」へと繋げるのは余計なまわり道です。証明の途中の議論はまるまる読み飛ばしてよいと思います。


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