環のイデアルに対して、
は極大イデアル/が体
の証明についてです。
画像の
「となる元をとると、\である」
と言える理由と、そこから
「はを真に含むのイデアルである」と導ける理由が分かりません。
どなたか教えて頂きたいです。

ベストアンサー

削除済みユーザー
写真中の証明で行なっているように、 が零イデアルでないと仮定します。 から非零の元 をとります。 なので、。つまり、 と言えます。
は明らか。これに加え、 が存在するので、。つまり、 は を真に含むと言えます。
しかし、これらの議論はすべて不要です。 が体であるのは「 は を含む」から直ちに証明できるので、 が零イデアルでないと仮定して「 を真に含む」へと繋げるのは余計なまわり道です。証明の途中の議論はまるまる読み飛ばしてよいと思います。