環$A$のイデアル$\mathfrak{m}$に対して、 $\mathfrak{m}$は極大イデアル$\iff$$A$/

Question

環$A$のイデアル$\mathfrak{m}$に対して、 $\mathfrak{m}$は極大イデアル$\iff$$A$/$\mathfrak{m}$が体 の証明についてです。  画像の 「$y \in \pi^{-1}(x)$となる元をとると、$y \in \pi^{-1}(J)$＼$\mathfrak{m}$である」 と言える理由と、そこから 「$\pi^{-1}(J)$は$\mathfrak{m}$を真に含む$A$のイデアルである」と導ける理由が分かりません。 どなたか教えて頂きたいです。

Accepted Answer

写真中の証明で行なっているように、$J$ が零イデアルでないと仮定します。$J$ から非零の元 $x$ をとります。$x 
eq 0$ なので、$y = \pi^{-1}(x) 
ot\in \pi^{-1}(0) = \mathfrak{m}$。つまり、$y \in \pi^{-1}(J)\backslash\mathfrak{m}$ と言えます。 　$\mathfrak{m} = \pi^{-1}(0) \subseteq \pi^{-1}(J)$ は明らか。これに加え、$y \in \pi^{-1}(J)\backslash\mathfrak{m}$ が存在するので、$\pi^{-1}(J) 
eq \mathfrak{m}$。つまり、$\pi^{-1}(J)$ は $\mathfrak{m}$ を真に含むと言えます。  　しかし、これらの議論はすべて不要です。$A/\mathfrak{m}$ が体であるのは「$\pi^{-1}(J)$ は $\mathfrak{m}$ を含む」から直ちに証明できるので、$J$ が零イデアルでないと仮定して「$\mathfrak{m}$ を真に含む」へと繋げるのは余計なまわり道です。証明の途中の議論はまるまる読み飛ばしてよいと思います。

環 $A$ のイデアル $\mathfrak{m}$ に対して、

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