正弦と余弦の性質を同時に持った函数はありますか？

「性質」がどのようなものを指すのかわかりませんが、三角関数は複素関数として

$$\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

という表示が与えられるので、複素指数関数 $e^z$, あるいは双曲線関数 $$\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

が近いのではないでしょうか。同時に持つという条件には合わないかもしれませんが。