読みにくくて長いですが自分の解法であっているかを確かめて欲しいです🤲

こうしたほうがよさそう、ってところ上げときます。

1.対称性については一番最初に触れましょう。

場合分けの仕方に説得力を持たせやすくなります。

「示す不等式は$a,b,c$の対称式なので、次の場合を考えればよい。」などと書くといいでしょう。

2.場合分けが2つのみである理由に触れましょう。

条件である$a+b+c=0$からすべてが同一符号であることはないですよね。

そこから「正のものが2つ」、「正のものが1つ」の2つだけ考えればいいことが分かります。

3.途中式について

条件式$a+b+c=0$を用いた式変形を使っている箇所は$(a+b=-c\text{より})$などと書くと計算を追いやすいので採点しやすいです。

3.等号成立条件

例えば$4ab=0$から言えるのは、「$a,b$の少なくとも一つは0」です。「$\neq0$」による書き分けは冗長になるので省いてよいでしょう。

さらに対称性を持つので、結論としては「$a,b,c$の少なくとも1つは0」が簡潔でよいです。Simple is the best.

以上です。