写真の13番ってとけますか?
高校数学しか既習してません。
もし解けないなら、どういう知識が必要かも合わせて知りたいです。

ベストアンサー

高校では直接的には習うことがありません。高校での関数の分野の深堀で、大学の線形代数学でやります。
定義域、値域ってありますよね。あれを集合で考えたらいいです。
さて、集合から集合への写像とはなにか。
からへの写像は「に対して」が成り立ちます。
この問題の場合はからなので、に対してです。
たとえば次のような証明があります。
条件より
さて、となるが存在しないとする。
(i)任意のに対し
を考える。
条件(★)よりであるが、よりであるのでとなる。これはfならばに矛盾し、ならばとなる。よって不適。
(ii)任意のに対し
省略。
((i)と同様にしてを考えるとよい。)
以上より少なくとも一つ、となるが存在する。
どうでしょうか。
背理法でやってるっていうところしかわからないです。
この問題は一般的な何かを証明していると思うのですが、具体例が全くわかりません。そのため何を示せば良いのかもわかりません。
答えはこれです(13ばん)

それでは具体例を挙げてみましょう。
(※写像の前後が同じ集合でややこしいので、集合(前)から集合(後)の写像とします。)
気を付けないといけないのは2点。
①集合(前)の元はすべて行き先を決めないといけないこと。
②集合(後)の元にならないものがあってもよいこと。
例えばとして写像が次のように飛ばすとします。
これは条件★を満たします。また、となるはです。
飛ばし方は条件★「ならば)」を満たせばどんなものでもOKです。(字数制限のため続きます)
問題に戻ります。さて、条件★から
です。
また、任意のに対してですから、
です。よって(1),(2)から
が言えます。これが帰納法の解答1行目の部分ですね。この中にとなるが存在することを言えればいいわけです。
あとは解答通りですね。
(字数制限のため続きます。)
また、背理法の場合は「となるが存在する」の否定「任意のに対して」を仮定します。このとき、同じようにを考えてみましょう。
よりです。
よりです。
よりです。
よりです。
さて写像の行き先は集合でしたから、「より」が成立することはありません。つまり、これは写像が「集合から集合への写像である」ことに矛盾するわけです。
がどれだけ大きくなろうが、これは変わりません。
以上、写真の模範解答の解説です。最初に挙げた自分の雑な証明よりは理解できるのではないでしょうか。
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そのほかの回答(1件)
名無しユーザー
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質問者からのお礼コメント
具体例でめちゃめちゃわかりやすかったです。ご丁寧な対応ありがとうございます🤲