写真の13番ってとけますか？

背理法でやってるっていうところしかわからないです。

この問題は一般的な何かを証明していると思うのですが、具体例が全くわかりません。そのため何を示せば良いのかもわかりません。

答えはこれです(13ばん)

それでは具体例を挙げてみましょう。

(※写像の前後が同じ集合でややこしいので、集合$N$(前)から集合$N$(後)の写像とします。)

気を付けないといけないのは2点。

①集合$N$(前)の元はすべて行き先を決めないといけないこと。

②集合$N$(後)の元にならないものがあってもよいこと。

例えば$n=4$として写像$f$が次のように飛ばすとします。

$$1\to2(=f(1))\\2\to2(=f(2))\\3\to4(=f(3))\\4\to4(=f(4))$$

これは条件★を満たします。また、$f(k)=k$となる$k$は$k=2,4$です。

飛ばし方は条件★「$i\leq j$ならば$f(i)\leq f(j$)」を満たせばどんなものでもOKです。(字数制限のため続きます)

問題に戻ります。さて、条件★から

$$\tag{1}f(1)\leq f(2) \leq\cdots\leq f(n)$$

です。

また、任意の$x\in N$に対して$f(x)\in N$ですから、

$$\tag{2}1\leq f(x) \leq n$$

です。よって(1),(2)から

$$1\leq f(1)\leq f(2) \leq\cdots\leq f(n)\leq n$$

が言えます。これが帰納法の解答1行目の部分ですね。この中に$f(k)=k$となる$k$が存在することを言えればいいわけです。

あとは解答通りですね。

(字数制限のため続きます。)

また、背理法の場合は「$f(k)=k$となる$k$が存在する」の否定「任意の$k$に対して$f(k)\neq k$」を仮定します。このとき、同じように$n=4$を考えてみましょう。

$f(1)\neq 1$より$2\leq f(1)$です。

$f(2)\neq 2$より$3\leq f(2)$です。

$f(3)\neq 3$より$4\leq f(3)$です。

$f(4)\neq 4$より$5\leq f(4)$です。

さて写像$f$の行き先は集合$\{1,2,3,4\}$でしたから、「$f(4)\neq 4$より$5\leq f(4)$」が成立することはありません。つまり、これは写像が「集合$\{1,2,3,4\}$から集合$\{1,2,3,4\}$への写像である」ことに矛盾するわけです。

$n$がどれだけ大きくなろうが、これは変わりません。

以上、写真の模範解答の解説です。最初に挙げた自分の雑な証明よりは理解できるのではないでしょうか。