解決済み

写真の13番ってとけますか?

高校数学しか既習してません。

もし解けないなら、どういう知識が必要かも合わせて知りたいです。


ベストアンサー

ベストアンサー

高校では直接的には習うことがありません。高校での関数の分野の深堀で、大学の線形代数学でやります。

定義域、値域ってありますよね。あれを集合で考えたらいいです。


さて、集合から集合への写像とはなにか。

AAからBBへの写像ffは「xAx\in Aに対してf(x)Bf(x)\in B」が成り立ちます。

この問題の場合はNNからNNなので、xNx\in Nに対してf(x)Nf(x)\in Nです。


たとえば次のような証明があります。


条件より

任意のi,jNに対してijならばf(i)f(j)(★)\tag{★}\text{任意の}i,j\in N\text{に対して}i\leq j\text{ならば}f(i)\leq f(j)


さて、k=f(k)k=f(k)となるkkが存在しないとする。


(i)任意のkkに対しf(k)<kf(k)\lt k

(i,j)=(1,2)(i,j)=(1,2)を考える。

条件(★)よりf(1)f(2)f(1)\leq f(2)であるが、f(2)<2f(2)\lt2よりf(2)=1f(2)=1であるのでf(1)1f(1)\leq1となる。これはf(1)=1(1)=1ならばf(k)<kf(k)\lt kに矛盾し、f(1)<1f(1)\lt1ならばf(1)Nf(1)\notin Nとなる。よって不適。


(ii)任意のkkに対しf(k)>kf(k)\gt k

省略。

((i)と同様にして(i,j)=(n1,n)(i,j)=(n-1,n)を考えるとよい。)



以上より少なくとも一つ、k=f(k)k=f(k)となるkkが存在する。\square


どうでしょうか。


返信(4件)

背理法でやってるっていうところしかわからないです。

この問題は一般的な何かを証明していると思うのですが、具体例が全くわかりません。そのため何を示せば良いのかもわかりません。


答えはこれです(13ばん)

それでは具体例を挙げてみましょう。

(※写像の前後が同じ集合でややこしいので、集合NN(前)から集合NN(後)の写像とします。)

気を付けないといけないのは2点。

①集合NN(前)の元はすべて行き先を決めないといけないこと。

②集合NN(後)の元にならないものがあってもよいこと。


例えばn=4n=4として写像ffが次のように飛ばすとします。

12(=f(1))22(=f(2))34(=f(3))44(=f(4))1\to2(=f(1))\\2\to2(=f(2))\\3\to4(=f(3))\\4\to4(=f(4))

これは条件★を満たします。また、f(k)=kf(k)=kとなるkkk=2,4k=2,4です。

飛ばし方は条件★「iji\leq jならばf(i)f(jf(i)\leq f(j)」を満たせばどんなものでもOKです。(字数制限のため続きます)


問題に戻ります。さて、条件★から

f(1)f(2)f(n)(1)\tag{1}f(1)\leq f(2) \leq\cdots\leq f(n)

です。

また、任意のxNx\in Nに対してf(x)Nf(x)\in Nですから、

1f(x)n(2)\tag{2}1\leq f(x) \leq n

です。よって(1),(2)から

1f(1)f(2)f(n)n1\leq f(1)\leq f(2) \leq\cdots\leq f(n)\leq n

が言えます。これが帰納法の解答1行目の部分ですね。この中にf(k)=kf(k)=kとなるkkが存在することを言えればいいわけです。

あとは解答通りですね。

(字数制限のため続きます。)




また、背理法の場合は「f(k)=kf(k)=kとなるkkが存在する」の否定「任意のkkに対してf(k)kf(k)\neq k」を仮定します。このとき、同じようにn=4n=4を考えてみましょう。


f(1)1f(1)\neq 1より2f(1)2\leq f(1)です。

f(2)2f(2)\neq 2より3f(2)3\leq f(2)です。

f(3)3f(3)\neq 3より4f(3)4\leq f(3)です。

f(4)4f(4)\neq 4より5f(4)5\leq f(4)です。


さて写像ffの行き先は集合{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}でしたから、「f(4)4f(4)\neq 4より5f(4)5\leq f(4)」が成立することはありません。つまり、これは写像が「集合{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}から集合{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}への写像である」ことに矛盾するわけです。

nnがどれだけ大きくなろうが、これは変わりません。


以上、写真の模範解答の解説です。最初に挙げた自分の雑な証明よりは理解できるのではないでしょうか。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

具体例でめちゃめちゃわかりやすかったです。ご丁寧な対応ありがとうございます🤲

そのほかの回答(1件)

この回答は削除されました。

関連する質問

もっとみる