数Ⅲで気をつけることはありますか？ここだけは気をつけろ！！みたいなものです。

丁寧に全範囲を教えてくださりありがとうございます。

質問なのですが、

積分した結果を知っていればそれを微分してゴリ押しで証明することもできます(積分の証明が問われている問題で使うのはやめましょう。計算途中で自明ではなさそうな積分が出てきた時に使えます)。

というのがよく分からなかったので、でも見た感じ便利そうなので、具体的にどんな時にこれが使えるのかを教えていただきたいですお願いします🤲

手法としては、部分分数分解(通分の逆演算)のように「微分したら与式のようになる式」を考えて、定数倍ズレていたら調整する。というものです。「積分をやってほしいのであって、積分の仕方については問われていないな」という時に使います。

使えない時は例えば、

「$\int \log x dx$を求めなさい」と問われているとき

作問者は「$\log$の前に1を立てて部分積分を使えるか」という積分計算の過程が見たいと思われるので、

$(x\log x - x)’ = \log x + x\frac{1}{x} - 1 = \log x\\より、\int \log x dx = x \log x - x + C$

と答えてしまうと減点になってしまう可能性が高いです。

ですが、次のような場合は使えます。

「$C_1:y=\log x$、$C_2:y=\cos x$とするとき、$x軸とy軸、C_1とC_2$で囲まれた図形の面積を求めなさい。」と問われた時は

「積分という手法で面積を求めることができるか」を重要視していて、積分計算の詳しい手法までは求めていないことが多いです。

この場合は、上記のような「積分した結果を微分して、積分が正しいことを証明する」ことで記述量や時間を短縮できます(ここでは簡単な例として$\log x$を例に出しましたが、入試では恐らく自明で問題無いです)。

実際に使えるのは、例えばこの間Rararaさんが質問していた

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx$ですが、

「$C_1:y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$と$C_2:y=\sin\frac{\pi}{4}x$ $(0 \leq x \leq 1)$と$y軸で囲まれた面積を求めなさい$」

と言われた場合に、

$C_1$の積分を「$t=x+\sqrt{x^2+1}とおいて…$」と計算すると紙面も時間も食います。

この$C_1を不定積分した結果が\log (x+\sqrt{x^2+1})$だとわかっていれば、

$\frac{d}{dx}\log (x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{\frac{d}{dx}(x+\sqrt{x^2+1})}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2}+1}$

より、$\int^1_0 C_1 dx = [\log(x+\sqrt{x^2+1})]^1_0$

と、2,3行で片づけることができます。

もちろん「$t= x+\sqrt{x^2+1}とおいて積分しなさい$」と書かれているのにこれで解いたらアウトです。

注意点として正直この方法は、採点者の匙加減で点数が変わる可能性もあるので、自己責任です。空気を読んで使いましょう。あと、計算ミスったら基本的に部分点が入りません。