解決済み

数Ⅲで気をつけることはありますか?ここだけは気をつけろ!!みたいなものです。


高2なんですけど、学校のシラバスだと一流の大学にはいけないと思って、数Ⅲを1人で進めてます。


全部の範囲教科書レベルが修了し、現在基礎(青チャート)を学んでいます。


1人でやるには限界がありそうです(特に数Ⅲは概念的なものが重要みたいなので)。


そこでこんなことを聞くのもおこがましいですが、何か気をつけるべきところとかはありますか?この分野のここは印象的だな〜みたいなものでも嬉しいです😊

よろしくお願いします🤲


ベストアンサー

ベストアンサー

1A2Bが疎かになってしまわないようにしましょう。

1A2Bで使った計算が、数3の途中式でひょっこり出てきます。



例えば、複素数平面でベクトル、漸化式。

複素数平面は微積に比べてやることが少なく、ベクトルが理解できていればすぐに習得できます!恐らく数3でコスパ最強です。


考え方はベクトルと同様(複素数は「点」を表しますが、足したり引いたりしてる時点で、点としての意味を持っていません。なのでベクトルとして考えた方がわかりやすいです)。

ベクトルで式を整理して→複素数で計算。

計算は基本3パターンです。

・直交座標でx+iyx+iy(足し算引き算に強い)

・共役複素数を考えて解く(zzˉz、\bar{z})(2乗した際の実部虚部の性質を使って解く)

・極座標でr(cosθ+isinθ)r(\cos\theta+i\sin\theta)(n乗や回転に強い)



二次曲線は楕円、双曲線、放物線の公式を覚え、性質を理解すればあとは今まで通り計算するだけ。

問題によっては(特に楕円、双曲線)極座標を使うと求める変数が激減することがあるので極座標は使えるようにしておきましょう。ド・モアブル最強。



極限微積ではn次関数、三角関数、指数対数etc..

微積は最後の方になると物理っぽい問題も出てきたりします。


積分の考え方は6パターン

・基本的な関数(sin,log,xnなどの覚えておくべきやつ\sin ,\log, x^nなどの覚えておくべきやつ)の積分。

・1次の式の塊を1文字と見て積分

・積和の公式で和の形を作って積分。次数を下げて積分。

t=(xの関数)t=(xの関数)で置換積分

x=(tの関数)x=(tの関数)で置換積分

・部分積分

これらができていれば数3範囲の積分はほぼ解けると思います。


積分は微分の逆演算であることを意識しましょう。

積分した結果を知っていればそれを微分してゴリ押しで証明することもできます(積分の証明が問われている問題で使うのはやめましょう。計算途中で自明ではなさそうな積分が出てきた時に使えます)。


あと、積分分野で立体図形の求積の問題は難しい問題になると、問われている立体を想像することができなくなりますが、解く際に想像する必要はありません(時間の無駄です)。積分する軸に垂直な断面と端っこのみを意識すると計算がしやすくなり、解く速度が上がると思います!

(ちなみに区分求積法はこのアホな\sout{アホな}動画を見ると概要が一瞬で理解できます。https://www.youtube.com/watch?v=Q7zINDBDn3s)



理解が進まないとき(解説の計算が飛んでるように感じる時)は以前の分野を見直すのも手です。


先の回答者様も書いていますが、概念的なものを理解するのは大変です(特に独学では)。

そういうところまで網羅したいのであれば先行して学べる塾(映像授業とかなら高2からでも受けれるかな)にいった方が時間効率はいいと思います。


演習だいじ!

返信(5件)

丁寧に全範囲を教えてくださりありがとうございます。

質問なのですが、


積分した結果を知っていればそれを微分してゴリ押しで証明することもできます(積分の証明が問われている問題で使うのはやめましょう。計算途中で自明ではなさそうな積分が出てきた時に使えます)。


というのがよく分からなかったので、でも見た感じ便利そうなので、具体的にどんな時にこれが使えるのかを教えていただきたいですお願いします🤲

手法としては、部分分数分解(通分の逆演算)のように「微分したら与式のようになる式」を考えて、定数倍ズレていたら調整する。というものです。「積分をやってほしいのであって、積分の仕方については問われていないな」という時に使います。


使えない時は例えば、

logxdx\int \log x dxを求めなさい」と問われているとき

作問者は「log\logの前に1を立てて部分積分を使えるか」という積分計算の過程が見たいと思われるので、


(xlogxx)=logx+x1x1=logxより、logxdx=xlogxx+C(x\log x - x)’ = \log x + x\frac{1}{x} - 1 = \log x\\より、\int \log x dx = x \log x - x + C


と答えてしまうと減点になってしまう可能性が高いです。

ですが、次のような場合は使えます。


C1:y=logxC_1:y=\log xC2:y=cosxC_2:y=\cos xとするとき、x軸とy軸、C1C2x軸とy軸、C_1とC_2で囲まれた図形の面積を求めなさい。」と問われた時は

「積分という手法で面積を求めることができるか」を重要視していて、積分計算の詳しい手法までは求めていないことが多いです。

この場合は、上記のような「積分した結果を微分して、積分が正しいことを証明する」ことで記述量や時間を短縮できます(ここでは簡単な例としてlogx\log xを例に出しましたが、入試では恐らく自明で問題無いです)。


実際に使えるのは、例えばこの間Rararaさんが質問していた

1x2+1dx\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dxですが、


C1:y=1x2+1C_1:y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}C2:y=sinπ4xC_2:y=\sin\frac{\pi}{4}x (0x1)(0 \leq x \leq 1) y軸で囲まれた面積を求めなさいy軸で囲まれた面積を求めなさい

と言われた場合に、

C1C_1の積分を「t=x+x2+1とおいてt=x+\sqrt{x^2+1}とおいて…」と計算すると紙面も時間も食います。

このC1を不定積分した結果がlog(x+x2+1)C_1を不定積分した結果が\log (x+\sqrt{x^2+1}) だとわかっていれば、


ddxlog(x+x2+1)=ddx(x+x2+1)x+x2+1=x+x2+1x2+1x+x2+1=1x2+1\frac{d}{dx}\log (x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{\frac{d}{dx}(x+\sqrt{x^2+1})}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2}+1}


より、01C1dx=[log(x+x2+1)]01\int^1_0 C_1 dx = [\log(x+\sqrt{x^2+1})]^1_0


と、2,3行で片づけることができます。


もちろん「t=x+x2+1とおいて積分しなさいt= x+\sqrt{x^2+1}とおいて積分しなさい」と書かれているのにこれで解いたらアウトです。


注意点として正直この方法は、採点者の匙加減で点数が変わる可能性もあるので、自己責任です。空気を読んで使いましょう。あと、計算ミスったら基本的に部分点が入りません。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

質問に答えていただきありがとうございます。途中計算で積分過程を省略、微分するのは定期テストと模試だけにしときます。数Ⅲの全体像が軽く見えてよりモチベが湧きました!楽しんでいきます🔥

そのほかの回答(1件)

もちろん概念を理解しておくのは大事ですが、数Ⅲは概念を深堀しだすと大学数学に近づき難しくなっていきます。「信じる者は救われる」ということで、ある程度のことは飲み込んでしまうほうがいいかもしれません。


数Ⅲはとりあえず定番の話題をちゃんと覚えて、計算をちゃんとすれば点にはつながりやすいとは思います。ほかに比べて捻った問題が少ないので。

とにかくいっぱい解いてしまうほうが早いと思います。

返信(1件)

参考になります!ありがとうございます🤲

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