定積分型の関数の微分・積分を教えて下さい。

ベストアンサー

DoubleExpYui 2022/9/14

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  Differential 2022/9/15

  例えばガンマ関数などです。積分表示の中に2つの変数が混じっていて、それを一つの変数で定積分するのですが、定積分の値では全ては計算できません。そのときに残る1つの変数がグラフ上の変数となる。そういう仕組の関数です。

  $$\int_{0}^{\infty} t^x-1 e^-t \ dt$$

  この場合だと$t$で積分するので、定積分の値には$x$が残ります。だから、その$x$をグラフ上の変数として微積するわけです。

  補足

  $t^x-1$と$e^-t$が間違っていました。正しくは$t$の$x-1$乗、$e$の$-t$乗です。

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  DoubleExpYui 2022/9/15

  把握しました。

  具体的に関数を上げると個別対応しないといけないので省略します。

  
  

  まずは微分ですが、一般的に領域$D$で連続な関数$f(x,y)$に対して$y$で偏微分可能であるとき

  $$\frac{\partial}{\partial y}\int^b_af(x,y)dx=\int^b_a\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)dx$$

  つまり微分積分の順序交換が可能です。(証明は必要なら調べてください)

  積分の中身を微分してから積分する、ということですね。

  
  
  

  次に積分。

  あげている例から関数$F(x)=\int^b_af(x,y)dy$の形式だと思いますので、考える積分は

  $$\int^d_cF(x)dx=\int^d_c\int^b_af(x,y)dydx$$

  になるかと思います。

  後は関数個別に積分可能か調べて重積分するだけです。

  
  

  他の質問とか見てる限り、定義周りの基礎が出来ていないようなので、微積の基礎をもう一度振り返ることからおすすめしておきます。

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  Differential 2022/9/15

  実は僕、小学六年生で、まだ１変数の微積しかやっていません。これから頑張ってみます。

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  Differential 2022/9/15

  お礼

  実は僕、小学六年生で、まだ１変数の微積しかやっていません。2変数の微積もこれから頑張ってみます。