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高校数学で使える大学数学はありますか?

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ぱっと思いつくのは、ベクトルの外積、ロピタルの定理くらいです。


ベクトルの外積は、空間内の平行でない aundefined=(a1,a2,a3),bundefined=(b1,b2,b3)\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3) に対して、 cundefined\overrightarrow{c}

cundefined=aundefined×bundefined=(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)\begin{aligned}\overrightarrow{c}&=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \\&=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\end{aligned}

とすると、cundefined\overrightarrow{c}aundefined,bundefined\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} のどちらのベクトルとも垂直になります。


ちなみに、aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b} のなす角を θ\theta とおくと、

aundefined×bundefined=aundefinedbundefinedsinθ|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \sin\theta

となり、aundefined\overrightarrow{a}bundefined\overrightarrow{b} でできる平行四辺形の面積に一致します。


また、数学ではないですが、電気量 qq の電荷が磁束密度 Bundefined\overrightarrow{B} の中を速度 vundefined\overrightarrow{v} で運動するときに、その電荷が磁界から受けるローレンツ力 Fundefined\overrightarrow{F} は、

Fundefined=q(vundefined×Bundefined)\overrightarrow{F}=q (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})

となります。



ロピタルの定理は、

x=a の近くで x=a を除いて微分可能である関数 f(x),g(x) に対して、limxaf(x)=limxag(x)=0 かつ g(x)0 であるとき limxaf(x)g(x)=l となれば limxaf(x)g(x)=lx=a \text{ の近くで } x=a \text{ を除いて微分可能である関数 } f(x),g(x) \text{ に対して、}\\ \\\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=0 \text{ かつ } g'(x) \neq 0 \text{ であるとき }\\ \\\lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l \text{ となれば } \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=l

です。前提条件の部分は

limxaf(x)=limxag(x)=\lim_{x \to a}f(x)=\lim_{x \to a}g(x)=\infty

の場合や x±x \to \pm \infty の場合も成り立ちます。


極限で 00,\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty} の不定形の場合、その不定形が解消されるまで繰り返し用いることができます。



以上です。

物理の内容も少しお話させていただきましたが、数学よりも物理の方が大学の内容を用いることによる恩恵は大きいような気もしますね。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

「外積」なんてあるんですね、、、学びが増えました^_^。「ロピタルの定理」は、しがない数学徒さんのYouTubeでみたことがあります!便利さを利用できるように勉強します!!🔥ありがとうございました😄

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