実数の範囲内でこれ以上因数分解できないと判断する基準はなんですか。これまでなんとなくで終わらせてしまっていたので、どのように判断すれば良いのかわかる方お願いします。

$3$ 次以上の多項式であれば、必ず実数の範囲で因数分解することができます。

$2$ 次式であれば、平方完成してみれば因数分解可能かどうかが分かります。

まず、「関数のグラフの共有点の座標は、方程式の解と一致する」ことをきちんと理解することが非常に重要です。

この事実を用いた解法はこれからよく見ると思うので、理解しておきましょう。

理由は以下のとおりです。

$3$ 次関数 $f(x)$ に対して、$y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸と少なくとも $1$ 点以上で共有点をもちます。

つまり、$3$ 次方程式 $f(x)=0$ は少なくとも $1$ つの実数解をもちます。

この実数解を $\alpha$ とおくと、$f(x)$ は $(x-\alpha)$ を因数にもちます。

$2$ 次式 $g(x)$ を平方完成した式が $g(x)=a(x-p)^2+q$ となったとします。ただし $a>0$ とします。

このとき、$q>0$ であれば、$2$ 次方程式 $g(x)=0$ は実数解をもちません。

なぜなら、$a(x-p)^2 \geqq 0 \text{ , } q>0$ より $g(x)>0$ だからです。

方程式 $g(x)=0$ が実数解をもたないので、実数の範囲でこれ以上因数分解することはできません。