解決済み

@fumiaki

2 回答

$a^ab^b$ や $a^a+b^b$ は基本対称式( $ab$ と $a+b$ )を用いて表すことはできますか？

$a^a+b^b$ は式変形の見当もつかないし、 $a^ab^b$ は $a\leqq b$ として変形すると $a^bb^a$ が出てきて、それをさらに変形すると $a^ab^b$ が出てきます。

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ベストアンサー

@choronodiver

2022/4/26 18:27

数１・Aの範囲では表すことはできません。数２・Bで習う「二項定理」と「数列」の知識を使えば次のように表すことはできますが、きれいな形にはなりません。表し方を一応のせておきます。

　二項定理より、 $( a + b )^a = {}_a\mathrm{C}_0 a^a + {}_a\mathrm{C}_1 a^{a-1} b^1 + {}_a\mathrm{C}_2 a^{a-2} b^2 + \cdots + {}_a\mathrm{C}_{a-1} a b^{a -1} + {}_a\mathrm{C}_a b^a$

$= a^a + \sum_{k=1}^{a} {}_a\mathrm{C}_k a^{a - k} b^k$

よって、 $a^a = ( a + b )^a - \sum_{k=1}^{a} {}_a\mathrm{C}_k a^{a - k} b^k ・・・①$

同様にして $b^b = ( a + b )^b - \sum_{k=0}^{b - 1} {}_b\mathrm{C}_k a^{b - k} b^k ・・・②$

　①と②を掛け合わせれば $a^a b^b$ 、足せば $a^a + b^b$ が出てきます。この式が分からなければ、数学の参考書の「二項定理」の章と「数列」の章を読むか、数学の先生にこれを見せるといいと思います。説明してくれると思います。

　これを書いている自分も、高２なので、説明不足な点があるかもしれません。

補足

　シグマ（∑）の部分は、これ以上簡単には表せません。

返信(2件)

@fumiaki

2022/4/26 18:43

回答ありがとうございます。

二項定理と数列は知っていたので①と②を導出するところまでは理解はできました。でもこれは基本対称式で表されているのでしょうか？掛けても足してもシグマのところが基本対称式で表されない気がします。

こちらの理解不足ならすみません。

@choronodiver

2022/4/26 22:56

そうですね、 $∑$ のところは、 $a + b$ では表すことができないので、正確に言うと対称式では表せないと言えますね。説明不足ですみません(-_-)

そのほかの回答（1件）

@0001

2022/4/27 15:12

$ab$ と $a + b$ は $a$ と $b$ の次数が同じであり、 $ab$ と $a + b$ だけで片方だけの次数を $a(b)$ にすることはできないと考えられます。

つまり基本対称式で表せるのは2変数(この場合は $a, b$ )が同じ次数のときであるので、 $a < b ( a > b )$ とした場合次数が異なるため、基本対称式で表せないのではないかと考えられます。

$a = b$ であれば次数が同じであるが、そもそもこの場合は考える必要はないですね。

返信(3件)

@fumiaki

2022/4/27 19:04

対称式の定義を確認したいのですが2変数の対称式は「２つの文字を入れ替えても値が変わらない多項式」か「２つの文字を入れ替えても値が変わらない式」のどっちですか？多項式なら質問の式は多項式じゃないので基本対称式で表されないかもしれませんが、一般的な式について成り立つなら表されるべきですよね(次数に関係なく)。また $1/x+1/y$ のような一部の多項式でない式も基本対称式で表される場合があるので多項式でなくても対称式全てが基本対称式で表されるとうれしいし美しいと思うのですがどうですか？

@0001

2022/4/27 19:27

自分は2変数の対称式とは「２つの文字を入れ替えても値が変わらない、2変数の次数が同じ式」だと考えています。

そのため $a^a b^b$ は次数が同じではないため基本対称式で表せない。 $1/a + 1/b$ は $a^{-1} + b^{-1}$ であるため次数が等しく、基本対称式で表せる。でいかがでしょうか？

@fumiaki

2022/4/29 10:37

確かにそれなら分かりやすいかもしれませんが対称式に条件がつくのは綺麗じゃないと私は思います。

表されないなら証明があるとよりわかりやすいです。

$a^ab^b$ や $a^a+b^b$ は基本対称式( $ab$ と $a+b$ )を用いて表すことはできますか？

ベストアンサー

数１・Aの範囲では表すことはできません。数２・Bで習う「二項定理」と「数列」の知識を使えば次のように表すことはできますが、きれいな形にはなりません。表し方を一応のせておきます。

回答ありがとうございます。

そうですね、 $∑$ のところは、 $a + b$ では表すことができないので、正確に言うと対称式では表せないと言えますね。説明不足ですみません(-_-)

そのほかの回答（1件）

$ab$ と $a + b$ は $a$ と $b$ の次数が同じであり、 $ab$ と $a + b$ だけで片方だけの次数を $a(b)$ にすることはできないと考えられます。

自分は2変数の対称式とは「２つの文字を入れ替えても値が変わらない、2変数の次数が同じ式」だと考えています。

確かにそれなら分かりやすいかもしれませんが対称式に条件がつくのは綺麗じゃないと私は思います。

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数１・Aの範囲では表すことはできません。数２・Bで習う「二項定理」と「数列」の知識を使えば次のように表すことはできますが、きれいな形にはなりません。表し方を一応のせておきます。

回答ありがとうございます。

そうですね、∑∑∑のところは、a+ba + ba+bでは表すことができないので、正確に言うと 対称式では表せないと言えますね。説明不足ですみません(-_-)

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ab ab abとa+b a + b a+bはa a aとb b bの次数が同じであり、ab ab abとa+b a + b a+bだけで片方だけの次数をa(b)a(b)a(b)にすることはできないと考えられます。

自分は2変数の対称式とは「２つの文字を入れ替えても値が変わらない、2変数の次数が同じ式」だと考えています。

確かにそれなら分かりやすいかもしれませんが対称式に条件がつくのは綺麗じゃないと私は思います。

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$ab$ と $a + b$ は $a$ と $b$ の次数が同じであり、 $ab$ と $a + b$ だけで片方だけの次数を $a(b)$ にすることはできないと考えられます。