【解答・解説】北大前期物理2025 第3問 -波動-

以下の問題文および図は，2025年度北海道大学前期日程入試問題物理第3問から引用しています(一部ライターが修正・変更した部分があります)。

波動の単元の問題です。定常波や光の干渉に関する典型問題の集合となっています。

問1

問 1 は入射波と反射波の合成の問題です。

(1)

時刻 $t$，位置 $x$ での入射波の変位を $f_{in} (t, x)$ とします。また，この位置の点を X と呼ぶことにします。

$x = 0$ のときを考えます。

上図の黒線は $t =0$ での変位，赤線は $t$ が微小時間だけ進んだ後の変位を表しています。図より，$x = 0$ では，$t = 0$ から時間が少しだけ進むと，変位が + となります。これは，$f_{in} (t, 0)$ が $\sin$ 型の変位となることを表しています。振幅は $a$ であり，また周期 $T$ より角振動数 $\omega$ は (正弦波の意味，特徴と基本公式)

$$\omega = \dfrac{2 \pi}{T}$$

したがって，$x = 0$ での入射波の変位は

$$f_{in} (t, 0) = a \sin{(\omega t)} = a \sin{\left(2 \pi \dfrac{t}{T} \right)}$$

と表されます。

(2)

原点での変位が位置 $x$ に伝わるまでの時間 $t_0$ は，その距離を入射波の速さで割った値に等しいです。入射波の周期は $T$，波長は $\lambda$ であることより，この波の速度 $v$ は，

$$v = \dfrac{\lambda}{T}$$

ゆえに求める時間 $t_0$ は

$$t_0 = \dfrac{x}{v} = \dfrac{x}{\lambda} T$$

となります。

(3)

(1)・(2) より，時刻 $t$，位置 $x$ での変位 $f_{in} (t, x)$ は

$$\begin{aligned} f_{in} (t, x) &= f_{in} (t - t_0, 0) \\ &= a \sin{\left\{2 \pi \left( \dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda} \right) \right\}} \end{aligned}$$

と表すことができます。

(あ)

固定端反射では，反射波の位相は入射波と比べて (ウ) $\pi$ ずれます (入射波と反射波（固定端反射・自由端反射）)。

一方，自由端反射では，反射波の位相と入射波の位相にずれはありません。

(4)

図 2 より $\text{OH} = \dfrac{7}{4} \lambda$ であるから，点 H で生じる反射波の変位が点 H の左側にある点 X に伝わるまでの時間 $t_0'$ は

$$t_0' =\dfrac{\text{OH} - \text{OX}}{v} = \dfrac{\dfrac{7}{4} \lambda - x}{\lambda} T = \left( \dfrac{7}{4} - \dfrac{x}{\lambda} \right) T$$

と求められます。

(5)

時刻 $t$，位置 $x$ での反射波の位相を $f_{re} (t, x)$ とします。

まず，時刻 $t$，位置 $x = x_H = \dfrac{7}{4} \lambda$ で反射波の位相 $f_{re} (t, x_H)$ を求めます。

まず，時刻 $t$，位置 $x_H$ での入射波の位相は，(3) の答に代入して

$$\begin{aligned} f_{in} (t, x_H) &= a \sin{\left\{2 \pi \left( \dfrac{t}{T} - \dfrac{7}{4} \right) \right\}} \\ &= a \sin{\left( 2 \pi \dfrac{t}{T} - \dfrac{7}{2} \pi \right)} \\ &= a \sin{\left( 2 \pi \dfrac{t}{T} + \dfrac{\pi}{2} \right)} \\ &= a \cos{\left( 2 \pi \dfrac{t}{T} \right)} \end{aligned}$$

時刻 $t$，位置 $x_H$ での反射波の位相は $\pi$ だけずれるので

$$f_{re} (t, x_H) = a \cos{\left( 2 \pi \dfrac{t}{T} + \pi \right)} = - a \cos{\left( 2 \pi \dfrac{t}{T} \right)}$$

さらに，(4) より，時刻 $t$，位置 $x_H$ での反射波の変位は

$$\begin{aligned} f_{re} (t, x) &= f_{re} (t - t_0', x_H) \\ &= - a \cos{\left\{2 \pi \left( \dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda} - \dfrac{7}{4} \right) \right\}} \\ &= - a \cos{\left\{2 \pi \left( \dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda} \right) + \dfrac{\pi}{2} \right\}} \\ &= a \sin{\left\{2 \pi \left( \dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda} \right) \right\}} \end{aligned}$$

(6)

時刻 $t$，位置 $x$ での入射波と反射波の合成波の変位 $g (t, x)$ は

$$\begin{aligned} g (t, x) &= f_{in} (t, x) + f_{re} (t, x) \\ &= a \sin{\left\{2 \pi \left( \dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda} \right) \right\}} + a \sin{\left\{2 \pi \left( \dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda} \right) \right\}} \\ \end{aligned}$$

簡単のため $2 \pi \dfrac{t}{T} = \theta_t, 2 \pi \dfrac{x}{\lambda} = \theta_x$ とおくと

$$\begin{aligned} g (t, x) &= a \sin{(\theta_t + \theta_x)} + a \sin{(\theta_t - \theta_x)} \\ &= 2 a \sin{\theta_t} \cos{\theta_x} \end{aligned}$$

ゆえに，合成波の振幅の最大値は $2a$ となります。

(い)

合成波の振幅が時刻 $t$ によらず常に $0$ となるためには

$$\cos{\theta_x} = \cos{\left( 2 \pi \dfrac{x}{\lambda} \right)} = 0$$

点 A 〜 G，すなわち $0 \leq \dfrac{x}{\lambda} \leq \dfrac{3}{2}$ の範囲で，上式を満たす $x$ は

$$\dfrac{x}{\lambda} = \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{4}$$

点 A 〜 G で表現すると，点 B，D，F となります。

(注)点 H も合成波の振幅が常に 0 となります。 問題文の指定では除かれているため注意してください。

問 2

問 2 は光の干渉の問題です。

(7)

屈折の法則 (反射の法則・屈折の法則) より，図 3 の入射角 $i$ と屈折角 $r$ の間には

$$1 \sin{(i)} = n \sin{(r)} \quad \therefore \sin{(i)} = n \sin{(r)}$$

が成り立ちます。

(8)

薄膜の表面で反射した光と薄膜の底面で反射した光が強め合う条件を考えます。

ここで，光が屈折率の異なる2つの媒質 A・B (屈折率 $n_a, n_b$) の境界で反射するときの位相のずれについて考えます。いま光が媒質 A から入射するとすると

• $n_a > n_b$ ならば入射波と反射波の位相にずれは生じない

• $n_a < n_b$ ならば入射波と反射波の位相は $\pi$ ずれる

ことに注意します。

上図より，薄膜の表面で反射した光は入射波と反射波の位相が $\pi$ ずれますが，薄膜の底面で反射した光は入射波と反射波の位相にずれは生じません。したがって，この2つの反射光が強め合う条件は，これら2つの光の経路差が (整数 + 1/2) × 波長となることです。

ここで，図 3 より，これらの光の経路差 $\Delta$ として考えるべき経路はすべて薄膜内となるので，基準とすべき波長も薄膜内のものとなります。それを $\lambda'$ とすると，屈折の法則より

$$1 \cdot \lambda = n \cdot \lambda' \quad \therefore \lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$$

ゆえに光が強め合う条件は，$0$ 以上の任意の整数 $m$ を用いて

$$\dfrac{\Delta}{\lambda'} = n \dfrac{\Delta}{\lambda} = m + \dfrac{1}{2}$$

図 3 より

$$\begin{aligned} \Delta &= 2d \cos{(r)} \\ &= 2d \sqrt{1 - \sin^2{(r)}} \\ &= 2d \sqrt{1 - \dfrac{1}{n^2} \sin^2{(i)}} \end{aligned}$$

となるので，代入・整理して

$$\dfrac{2d}{\lambda} \sqrt{n^2 - \sin^2{(i)}} = m + \dfrac{1}{2}$$

となります。

(9)

2 つの反射光が弱め合う条件は，(8) と同様に考えることで，2つの光の経路差が整数 × 波長となるときとなります。(8)と同じように式で表現すると

$$\dfrac{2d}{\lambda} \sqrt{n^2 - \sin^2{(i)}} = m$$

と表されます。

(10)

$\lambda = 720$ [nm] のときに光が強め合ったことを式で表すと，ある整数 $k$ を用いて

$$\dfrac{2d}{720 [nm]} \sqrt{n^2 - \sin^2{(i)}} = k + \dfrac{1}{2} \tag{1}$$

と表されます。

波長を徐々に短くして $\lambda = 540$ [nm] としたときに光の明るさが極少となったことから，このときの光の弱め合いの条件は

$$\dfrac{2d}{540 [nm]} \sqrt{n^2 - \sin^2{(i)}} = k + 1 \tag{2}$$

さらに波長を短くしていき，次に光が強め合うような光の波長を $\lambda_1$ とすると，このときの光の強め合いの条件は，整数 $k$ を用いて

$$\dfrac{2d}{\lambda_1 [nm]} \sqrt{n^2 - \sin^2{(i)}} = k + \dfrac{3}{2} \tag{3}$$

これらを $n, k, \lambda$ の連立方程式とみて，解いていきましょう。

まず，$\lambda_1$ を求めます。(2) 式 ÷(1) 式より

$$\dfrac{2d}{540} \times \dfrac{720}{2d} = \dfrac{720}{540} = \dfrac{4}{3} = \dfrac{k + 1}{k + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{2k + 2}{2k + 1}$$

$$\therefore k = 1 \tag{4}$$

一方 (1) 式 ÷(3) 式より

$$\dfrac{2d}{720} \times \dfrac{\lambda_1}{2d} = \dfrac{\lambda_1}{720} = \dfrac{k + \dfrac{3}{2}}{k + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{2k + 3}{2k + 1}$$

(4) 式を代入して

$$\dfrac{\lambda_1}{720} = \dfrac{5}{3} \quad \therefore \lambda_1 = 432 [\text{nm}]$$

有効数字 2 桁で求めると，$4.3 \times 10^2$ [nm] となります。

(11)

再び (1) 式に戻ります。問題文より $d = 450$ [nm] とわかっています。

また，角度 $i$ については，問題文より $\tan{(i)} = \sqrt{\dfrac{13}{12}}$ とわかっているので

$$\sin{(i)} = \dfrac{\sqrt{13}}{5}$$

これらを (1) 式に代入して

$$\dfrac{900}{540} \sqrt{n^2 - (\dfrac{\sqrt{13}}{5})^2} = \dfrac{5}{4} \sqrt{n^2 - \dfrac{12}{25}} = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$$

$$\therefore \sqrt{n^2 - \dfrac{13}{25}} = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{5}$$

$n > 0$ より

$$\begin{aligned} n &= \sqrt{\dfrac{13}{25} + \left( \dfrac{6}{5} \right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{49}{25}} = \dfrac{7}{5} = 1.4 \end{aligned}$$

有効数字 2 桁で求めると $1.4$ となります。