【解答・解説】東大物理2023 第2問 -電磁気-

2023年度の東大物理第2問を解説します。電磁気の単元です。

なお，本記事中の図は全て，2023年度東京大学入試問題物理第2問を参考に，ライターが作成したものです(一部見やすさ等のためライターが変更した部分があります)。

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問題

以下の問題は，2023年度東京大学入試問題物理第2問から引用しています(一部修正しています)。

第2問

I

図2-1のように，滑らかに回転する軽い滑車に，半径 rr，質量 MM の円盤が，質量の無視できる糸と吊り具で水平につり下げられている。

tp23-2-fig1

円盤の側面には導線が水平方向に NN 回巻かれている。導線の巻き方向は，上から見たときに端子 J1J_1 を始点として時計回りである。滑車の反対側には質量 MM のおもりがつり下げられている。円盤の厚さは十分に小さいものとする。

円盤の上下には図2-2のように，二つの円形の永久磁石を N 極同士が向かい合うように壁に固定する。

tp23-2-fig2

鉛直方向下向きに zz 軸をとり，二つの磁石の中間点を z=0z = 0 とする。円盤は，はじめ z=0z = 0 に配置されており，水平を保ちながら zz 方向にのみ運動する。円盤が動く範囲では，図2-3のように円盤の半径方向を向いた放射状の磁場が永久磁石により作られ，導線の位置での磁束密度の大きさは一定の値 B0B_0 である。

tp24-2-fig3

この磁場は円盤に巻かれた導線のみに作用するものとする。

この装置は真空中に置かれている。重力加速度は gg，真空中の光速は cc とする。円盤が動く速さは cc よりも十分に小さい。糸の伸縮はない。導線の質量，太さ，抵抗，自己インダクタンスは無視する。また，円盤に巻かれていない部分の導線は，円盤の運動に影響しない。以下の設問に答えよ。

(1)おもりを鉛直方向に動かすことで，円盤を zz 軸正の向きに一定の速さ v0v_0 で動かした。端子 J1\text{J}_1 を基準とした J2\text{J}_2 の電位 V1V_1 を，v0,r,N,B0v_0, r, N, B_0 を用いて表せ。

図2-4のように，円盤の位置を精密に測定し電気信号に変換するため，この装置にはレーザー干渉計が組み込まれている。

tp23-2-fig4

レーザー光源を出た周波数 ff の光は，ハーフミラーで一部が反射し，一部は透過する。ハーフミラーで反射した光は円盤に取り付けられた鏡 M1\text{M}_1 で反射し，ハーフミラーを透過した光は壁に固定された鏡 M2\text{M}_2 で反射する。M1,M2\text{M}_1, \text{M}_2 で反射した光は，ハーフミラーで重ね合わされ光検出器に向かう。光の経路は真空中にある。このとき，円盤の位置 zz が変化すると，検出される光の強さが干渉により変化する。光検出器からは，検出した光の強さに比例した電圧 V(z)V(z) が出力される。この電圧は，VLV_\text{L} と kk を正の定数として V(z)=VL+VLsin⁡(kz)V(z) = V_\text{L} + V_\text{L} \sin{(k z)} と表すことができる。鏡 M1\text{M}_1 の質量は無視できる。

(2)ff と cc を用いて kk を表せ。

図2-4の回路に含まれる可変電源は，光検出器の出力電圧を入力すると，正の増幅率を AA として VA=A{V(z)−VL}V_\text{A} = A \{ V(z) - V_\text{L} \} なる電圧を出力する。抵抗値 RR の抵抗に生じる電圧降下を，内部抵抗の十分大きな電圧計によって測定する。可変電源の出力電圧は，- 端子を基準とした + 端子の電位である。

いま，円盤の位置を z=0z = 0 に戻し，静止させた。スイッチを閉じると円盤は静止を続けた。次に，円盤の上に質量 mm の物体を静かに置くと，物体と円盤は一体となって鉛直下向きに運動を始めた。

(3)円盤をつり下げている糸の張力を TT，物体の速度を vv とする。一体となって運動する物体と円盤にはたらく力の合力を，k,m,M,T,A,r,N,g,B0,R,VL,v,zk, m, M, T, A, r, N, g, B_0, R, V_\text{L}, v, z のうち必要なものを用いて表せ。

AA が十分大きい値であったため，物体と円盤は一体のまま非常に小さな振幅で上下に振動し，時間とともにその振幅は減衰した。時間が経過してほぼ静止したと見なせるときの円盤の位置を z1z_1，電圧計の測定値の絶対値を V2V_2 とする。

(4)z1z_1 と V2V_2 を k,m,A,r,N,g,B0,R,VLk, m, A, r, N, g, B_0, R, V_\text{L} のうち必要なものを用いて表せ。ただし，z1z_1 が十分に小さいため，近似式 sin⁡kz1≒kz1\sin{k z_1} \fallingdotseq k z_1 を用いてもよい。

(5)設問 I (1) の結果とあわせて，物体の質量 mm を V1,V2,R,g,v0V_1, V_2, R, g, v_0 を用いて表せ。

II

質量 mm の測定に用いた抵抗の抵抗値 RR を精密に決めることを考えよう。

金属や半導体に電流を流し，その電流の向きと垂直に磁場を流すと，ホール効果によって電流と磁場に垂直な方向に電位差が生じる。このような電子部品をホール素子と呼ぶ。ホール効果のうち，量子ホール効果という特殊な場合には，生じた電位差と電流の比 RHR_\text{H} の値は厳密に決まっており，抵抗値の基準となる。

RHR_\text{H} を基準として，未知の抵抗値 RR を測定するため，図2-5に示す回路を用いる。

tp23-2-fig5

ホール素子には，紙面に垂直で裏から表に向かう磁場がかけられており，P1\text{P}_1 から P2\text{P}_2 の向きに電流 I1I_1 を流すと，P3\text{P}_3 を基準とした P4\text{P}_4 の電位は RHI1R_\text{H} I_1 となる。

P5\text{P}_5 を基準とした P4\text{P}_4 の電位 VV を内部抵抗の十分大きな電圧計で測定し，正の大きな増幅率 AA をもつ可変電源に入力する。可変電源は電圧 VA′=AVV'_\text{A} = A V を出力し，抵抗値 R′R' の抵抗に接続されている。ホール素子は，P1\text{P}_1 と P2\text{P}_2 の間に有限の抵抗値をもつ。可変電源の出力電圧は，- 端子を基準とした + 端子の電位である。

ソレノイド 1, 2, 3 は比誘電率 1 の一つの円盤に巻かれており，単位長さあたりの巻数はそれぞれ n1,n2,n3n_1, n_2, n_3 である。ソレノイド 2 と 3 は同じ向きに，ソレノイド 1 はそれらとは逆向きに巻かれている。電源 1, 電源 2, 可変電源から流れる電流をそれぞれ I1,I2,I3I_1, I_2, I_3 とし，それぞれがソレノイド 1, 2, 3 に流れている。I1I_1 と I3I_3 は電源に内蔵された電流計で測定している。ソレノイドの導線の抵抗は無視できる。以下の設問に答えよ。

(1)P5\text{P}_5 を基準とした P4\text{P}_4 の電位 VV とソレノイド内部の磁場 HH の大きさを，n1,n2,n3,I1,I2,I3,R,RHn_1, n_2, n_3, I_1, I_2, I_3, R, R_\text{H} のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

(2)以下の記述について，ア\fbox{ア} と イ\fbox{イ} にあてはまる式を，n1,n2,n3,I1,I3,R,R′n_1, n_2, n_3, I_1, I_3, R, R' のうち必要なものを用いて表せ。

—

磁気センサーでソレノイド内部の磁場 HH を測定し，H=0H = 0 となるように電源 1 の電圧により I1I_1 を調整した。このとき，

RHR=ア+1A×イ \dfrac{R_\text{H}}{R} = \fbox{ア} + \dfrac{1}{A} \times \fbox{イ}

と表すことができる。増幅率 AA が大きいので，近似式

R≒RH×( ア )−1 R \fallingdotseq R_\text{H} \times \left( \, \fbox{ア} \, \right)^{-1}

が得られる。

—

ソレノイドの巻数をうまく選ぶことで，電流の測定誤差に比べて抵抗値 RR の測定誤差を相対的に小さくすることができる。量子ホール効果での RHR_\text{H} は，物理定数であるプランク定数 hh，電気素量 ee と自然数 pp を用いて RH=hpe2R_\text{H} = \dfrac{h}{p e^2} と表せる。ここでは，p=2,RH=12.9kΩp = 2, R_\text{H} = 12.9 \text{k} \Omega の素子を用いる。いま，測定したい抵抗値 RR は 100 Ω\Omega 程度であることが測定前にわかっている。測定誤差を小さくするために，n2n1\dfrac{n_2}{n_1} が RRH\dfrac{R}{R_\text{H}} と近い値となり，n3n1\dfrac{n_3}{n_1} が小さくなるように巻数の比を選び，n1:n2:n3=1290:10:129n_1 : n_2 : n_3 = 1290 : 10 : 129 とした。

(3)電流 I1I_1 と I3I_3 の測定値と真の値，および抵抗値 RR の真の値を表2-1(下表)に示す。

I1I_1 I3I_3 RR
測定値 540 μ\mu A\text{A} 400 μ\mu A\text{A}
真の値 600 μ\mu A\text{A} 350 μ\mu A\text{A} 106 Ω\Omega

電流の相対誤差は 10 % 程度である。I1,I3I_1, I_3 の測定値と設問 II(2) で得た近似式から，抵抗値 RR の測定値を有効数字3桁で答えよ。また，この抵抗測定の相対誤差は何 % か，有効数字1桁で答えよ。

実験について考察する面白い問題です。問題文も長く，図も複雑なので，時間内の完答は難しいかもしれません。

解答例

設問 I

(1)

単位電荷がソレノイド内を移動することを考えます。

tp23-2-1-1

ソレノイド (コイルのエネルギーとエネルギー密度の解説) にはたらく磁場の向きに注意すると，ソレノイドの1巻き内を単位電荷が移動するとき，端子 J1\text{J}_1 を基準とすると，誘導起電力 (導体棒と誘導起電力) は v0B02πr=2πv0B0rv_0 B_0 2 \pi r = 2 \pi v_0 B_0 r だけ発生します。

ソレノイドは NN 回巻きなので，端子 J1\text{J}_1 を基準とした J2\text{J}_2 の電位 V1V_1 は

V1=N×2πv0B0r=2πNv0B0r V_1 = N \times 2 \pi v_0 B_0 r = 2 \pi N v_0 B_0 r

と表されます。

(2)光検出器に集まる光が強め合う周期について考えてみます。一度強め合ってから次に光が強め合うまでの zz 軸方向の変位を Δz(>0)\Delta z (> 0) とすると

kΔz=2π k \Delta z = 2 \pi

一方，円盤の位置が Δz\Delta z だけ変化したとき，光検出器に集まる光の経路差は 2Δz2 \Delta z となります。これを周期に変換すると，Δz\Delta z の定義より 2π2 \pi に等しく

2π2Δcf=4πfΔzc=2π 2 \pi \dfrac{2 \Delta}{\dfrac{c}{f}} = 4 \pi \dfrac{f \Delta z}{c} = 2 \pi

これらより

kΔz=4πfΔzc k \Delta z = 4 \pi \dfrac{f \Delta z}{c}

∴k=4πfc \therefore k = 4 \pi \dfrac{f}{c}

(3)物体と円盤の系にはたらく力は以下の3つとなります。

ローレンツ力 FF を求めます。そのためにまず，ソレノイドを含む回路から，ソレノイドに流れる電流 II を求めます。

tp23-2-1-3-1

端子 J1\text{J}_1 から J2\text{J}_2 の間にはたらく誘導起電力 V1′V_1' は，(1)で速度を v0→vv_0 \to v として，

V1′=2πNvB0r V_1' = 2 \pi N v B_0 r

と求められます。

可変電源の電圧および電流 II は図2-4に示されている向きを正とすると，キルヒホッフ第2法則 (キルヒホッフの法則の解説と例題)より

VA+V1′=AVLsin⁡(kz)+2πNvB0r=RI V_\text{A} + V_1' = A V_\text{L} \sin{(k z)} + 2 \pi N v B_0 r = R I

∴I=AVLsin⁡(kz)+2πNvB0rR \therefore I = \dfrac{A V_\text{L} \sin{(k z)} + 2 \pi N v B_0 r}{R}

次に，物体と円盤の系にはたらくローレンツ力について考えます。電流の向きは，端子 J1\text{J}_1 から J2\text{J}_2 に進む向きを正として考えることができます。

tp23-2-1-3-2

ソレノイドにはたらく磁場の向きは図2-3のように定まっていることより，1巻分のローレンツ力 ff は zz 軸負の方向に

IB02πr=2πIB0r I B_0 2 \pi r = 2 \pi I B_0 r

ソレノイドは NN 回巻きなので，系にはたらくローレンツ力の大きさ FF は

F=2πNIB0r=2πNAVLsin⁡(kz)+2πNvB0rRB0r F = 2 \pi N I B_0 r = 2 \pi N \dfrac{A V_\text{L} \sin{(k z)} + 2 \pi N v B_0 r}{R} B_0 r

したがって，物体と円盤の系にはたらく合力 FtotF_\text{tot} は，

Ftot=(m+M)g−T−2πNAVLsin⁡(kz)+2πNvB0rRB0r F_\text{tot}= (m + M)g - T - 2 \pi N \dfrac{A V_\text{L} \sin{(k z)} + 2 \pi N v B_0 r}{R} B_0 r

のように求められます。

(4)位置 z=z1z = z_1 では物体と円盤の系が静止していると見なせることに着目します。

まず，物体と円盤の系が静止していることより，この系の速度 v=0v = 0 であり，また力のつりあいより F=0F = 0 が成り立ちます。与えられた近似式 sin⁡kz1≒kz1\sin{k z_1} \fallingdotseq k z_1 を用いて

F=(m+M)g−T−2πNAVLkz1RB0r=0 F = (m + M)g - T - 2 \pi N \dfrac{A V_\text{L} k z_1}{R} B_0 r = 0

糸の張力 TT について考えます。物体と円盤の系が静止しているとき，糸でつながっているおもりもまた静止していると考えられます。このおもりに対して力のつりあいを用いることで

T=Mg T = M g

これより

mg−2πNAVLkz1RB0r=0 mg - 2 \pi N \dfrac{A V_\text{L} k z_1}{R} B_0 r = 0

∴z1=12πNAmgRkVLB0r \therefore z_1 = \dfrac{1}{2 \pi N A} \dfrac{m g R}{k V_\text{L} B_0 r}

また，電圧計の測定値 V2V_2 は，V2=IRV_2 = I R として求めることができます。いま，

I=AVLkz1R=12πNmgB0r \begin{aligned} I &= \dfrac{A V_\text{L} k z_1}{R} \\ &= \dfrac{1}{2 \pi N} \dfrac{m g}{B_0 r} \end{aligned}

より

V2=IR=12πNmgRB0r V_2 = I R = \dfrac{1}{2 \pi N} \dfrac{m g R}{B_0 r}

と求められます。

(5)V1,V2,v0V_1, V_2, v_0 を既知として，mm をこれらで表すことを考えます。I(1) より V1=2πNv0B0rV_1 = 2 \pi N v_0 B_0 r であるから

V2=mgRV1v0 \begin{aligned} V_2 &= \dfrac{mg R}{\dfrac{V_1}{v_0}} \end{aligned}

∴m=V1V2v0gR \therefore m = \dfrac{V_1 V_2}{v_0 g R}

と表すことができます。

設問 II

(1)

tp23-2-2-1-1

問題文の設定より，P3\text{P}_3 を基準とした P4\text{P}_4 の電位は RHI1R_\text{H} I_1 となります。図2-5の向きで電流 I2I_2 が流れているとき，P5\text{P}_5 を基準とした P4\text{P}_4 の電位 VV は，キルヒホッフ第2法則より

RI2+V=RHI1 R I_2 + V = R_\text{H} I_1

∴V=RHI1−RI2 \therefore V = R_\text{H} I_1 - R I_2

と求められます。

ソレノイド内部の磁場の大きさ HH は，比誘電率1および，ソレノイド1とソレノイド2・3とは逆向きに巻かれていることから，ソレノイド内部の磁場の大きさの公式を用いて (電流と磁束密度の関係)

H=∣n1I1−n2I2−n3I3∣ H = |n_1 I_1 - n_2 I_2 - n_3 I_3|

と求められます。

(2)H=0H = 0 となるような I1I_1 は

I1=n2n1I2+n3n1I3 I_1 = \dfrac{n_2}{n_1} I_2 + \dfrac{n_3}{n_1} I_3

一方下図の回路に対してキルヒホッフ第2法則を用いて

tp23-2-2-1-2

VA′=AV=R′I3 V_\text{A}' = A V = R' I_3

(1)の結果と合わせると VV を消去できて

1AR′I3=RHI1−RI2 \dfrac{1}{A} R' I_3 = R_\text{H} I_1 - R I_2

∴RHR=I2I1+1AR′RI3I1 \therefore \dfrac{R_\text{H}}{R} = \dfrac{I_2}{I_1} + \dfrac{1}{A} \dfrac{R'}{R} \dfrac{I_3}{I_1}

問題文の指示に従い，I2I_2 をI1I_1 と I3I_3 を用いて表すと

I2=n1n2I1−n3n2I3 I_2 = \dfrac{n_1}{n_2} I_1 - \dfrac{n_3}{n_2} I_3

したがって

RHR=(n1n2−n3n2I3I1)+1AR′RI3I1 \dfrac{R_\text{H}}{R} = \left( \dfrac{n_1}{n_2} - \dfrac{n_3}{n_2} \dfrac{I_3}{I_1} \right) + \dfrac{1}{A} \dfrac{R'}{R} \dfrac{I_3}{I_1}

以上より

ア:n1n2−n3n2I3I1,イ:R′RI3I1 \fbox{ア}: \dfrac{n_1}{n_2} - \dfrac{n_3}{n_2} \dfrac{I_3}{I_1} , \quad \fbox{イ}: \dfrac{R'}{R} \dfrac{I_3}{I_1}

(3)AA がじゅうぶん大きいときは 1A∼0\dfrac{1}{A} \sim 0 と見なせるので

R≒RH×(n1n2−n3n2I3I1)−1=n2n1−n3I3I1RH \begin{aligned} R & \fallingdotseq R_\text{H} \times \left( \dfrac{n_1}{n_2} - \dfrac{n_3}{n_2} \dfrac{I_3}{I_1} \right)^{-1} \\ &= \dfrac{n_2}{n_1 - n_3 \dfrac{I_3}{I_1}} R_\text{H} \end{aligned}

と表すことができます。

与えられた数値を用いると，抵抗値 RR の測定値は

R=101290−129×400540×12.9×103=108.0kΩ \begin{aligned} R &= \dfrac{10}{1290 - 129 \times \dfrac{400} {540}} \times 12.9 \times 10^3 \\ &= 108.0 \text{k} \Omega \end{aligned}

有効数字3桁で答えると，R=108kΩR = 108 \text{k} \Omega となります。

また，RR の真の値は 106kΩ106 \text{k} \Omega であるので，測定値の相対誤差は

108−106106×100=1.8 \dfrac{108 - 106}{106} \times 100 = 1.8

有効数字1桁で答えると，2% となります。

教材としては実験を扱っている非常に面白い問題です。ローレンツ力・電位・電流の向きには常に注意してください。

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