誘電率

誘電率と静電容量

コンデンサーの静電容量 $C$ は，コンデンサーの極板の面積 $S$，高さ $d$ との間に

$$C = \varepsilon_0 \dfrac{S}{d}$$

という関係があります(この関係について，詳しくは コンデンサーの理論 をご覧ください)。

このときの比例定数 $\varepsilon_0$ (イプシロン)を，(真空の)誘電率と呼びます。

誘電率の単位

誘電率の単位についても軽く復習しておきましょう。静電容量の公式より，誘電率の単位は $C \frac{d}{S}$ の単位と一致します。静電容量の単位はファラド [F] であり，これを用いると，誘電率の単位は

$$[\varepsilon_0] = \left[ \frac{F}{m} \right]$$

と表すことができます。

一方，誘電率の単位を SI (国際単位系) を用いて表すこともできます。この場合，ファラドの SI 表記を用いて

$$[\varepsilon_0] = \left[ \frac{A^2 \cdot s^4}{m^3 \cdot kg} \right]$$

と表すことができます。こちらも，詳しく知りたい方は コンデンサーの理論 を併せてご覧ください。

比誘電率とは

物体は，その材質に応じて，その物体固有の誘電率を持っています。この物体の誘電率は，真空の誘電率との比を用いて評価します。すなわち，ある物体の誘電率 $\varepsilon$ は，真空の誘電率 $\varepsilon_0$ を用いて

$$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$$

と表すことができます。この比例定数 $\varepsilon_r$ を比誘電率と呼びます。

種々の物質の比誘電率

真空の誘電率は，$8.85 \times 10^{-12} [F/m]$ であることがわかっています。

種々の物質の比誘電率の一部を紹介します。空気の比誘電率はほぼ1，水の比誘電率は80程度，ポリエチレンの比誘電率は2.3程度です。

以下の例題を通じて，コンデンサー内の誘電体のふるまいを計算してみましょう。

(1)コンデンサーの静電容量 $C'$ は，静電容量の公式において，真空の誘電率 $\varepsilon_0$ を誘電体の誘電率 $\varepsilon$ と置き換えることで得られます。つまり

$$\begin{aligned} C' &= \varepsilon \frac{S}{d} \\ &= \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{S}{d} \\ &= \varepsilon_r C_0 \tag{1} \end{aligned}$$

すなわち，コンデンサーを比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体で満たすと，その静電容量は $\varepsilon_r$ 倍になることがわかります。

(この結果より，比誘電率は，その物体がどれだけ電荷を蓄えられるかの指標となっていると考えることもできます。)

(2)誘電体を挿入したあとのコンデンサーに加わっている電圧を求められれば，そこから電場を求めることができます。

電源を取り外しているので，誘電体の挿入前後でコンデンサーに蓄えられている電荷の総量 $Q$ は変わりません。コンデンサーの公式より，

$$Q = C_0 V_0 \tag{2}$$

誘電体を挿入したあと，コンデンサーに加わっている電圧を $V'$ とすると，コンデンサーの公式より

$$Q = C' V' \tag{3}$$

が成り立ちます。(1)，(2)，(3)式より

$$C_0 V_0 = C' V'$$

$$\therefore V' = \frac{C_0}{C'} V_0 = \frac{1}{\varepsilon_r} V_0 \tag{4}$$

誘電体内では電場は一定と考えてよいので，誘電体内の電場 $E'$ は

$$E' = \frac{V'}{d} = \frac{1}{\varepsilon_r} \frac{V_0}{d}$$

と求めることができます。

(3)誘電体の挿入前後のコンデンサーの静電エネルギーの差が，求める仕事 $W$ となります。

誘電体を挿入する前のコンデンサーの静電エネルギー $U_0$ は，公式より

$$U_0 = \frac{1}{2} C_0 V_0^2$$

誘電体を挿入したあとのコンデンサーの静電エネルギー $U'$ は，同様にして

$$\begin{aligned} U' &= \frac{1}{2} C' V'^2 \\ &= \frac{1}{2} \varepsilon_r C_0 \left( \frac{1}{\varepsilon_r} V_0 \right)^2 \\ &= \frac{1}{\varepsilon_r} \frac{1}{2} C_0 V_0^2 = \frac{1}{\varepsilon_r} U_0 \end{aligned}$$

と求められます。

これより，求める仕事は

$$\begin{aligned} W &= U' - U_0 \\ &= \left( \frac{1}{\varepsilon_r} - 1 \right) U_0 \\ &= \left( \frac{1}{\varepsilon_r} - 1 \right) \frac{1}{2} C_0 V_0^2 \end{aligned}$$

となります。