• 解決済み

    @math_is_tough

    2026/1/23 13:36

    1 回答

    （2）はなぜ、極限を使わずに微分可能かを確かめていいんでしょうか。

    回答宜しくお願いします。

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    @tanaka1224

    2026/1/26 14:40

    x=ax=a で 22 つの微分可能関数がつながっているとき

    y={f(x)(x<a)g(x)(x≧a)y=\left\{\begin{aligned}f(x)\quad&(x<a)\\g(x)\quad&(x\geqq a)\end{aligned}\right.

    などと書き表します。

    f,gf,g は x≠ax\neq a において微分可能でf′(x), g′(x)f'(x),\ g'(x) が存在します。

    つまり、全体を y=h(x)y=h(x) としたとき x=ax=a で微分可能であるならば、極限

    lim⁡x→ah(x)−h(a)x−a\lim_{x\to a}\dfrac{h(x)-h(a)}{x-a}

    が存在しなければなりません。

    この極限が存在するとき、左側極限と右側極限が一致すればよいのですが、左側極限は f′(a)f'(a) に一致し、右側極限は g′(a)g'(a) に一致します。

    したがって、y=h(x)y=h(x) が x=ax=a で微分可能であるとき、

    f′(a)=g′(a)f'(a)=g'(a)

    が必要十分条件となります。

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