@staroverhead 様の回答の仕方は方針としては全然大丈夫だと思います!解答と違うのであれば計算ミスで合わない、とかでしょうか...?一応その方針での回答(略解)を書いておきますね。
図で囲まれた円錐の部分のうち、小さいほうをV1、大きいほうをV2とすると、求める体積は、
V=π∫−21x2dy−V1−V2
となります。先にV1,V2を導出して、それぞれ
V1=3π V2=38π
あとは、積分を処理しましょう
V=π∫−21x2dy=π∫−212−y2dy=π∫−21(2−y)dy=π[2y−2y2]−21=215π
よって求める答えは、V=215π−3π−38π=29π
もしこの回答があってないということもあるので、模範解答とご自身の回答をお伝えしてくれると助かります。