集合と命題です。(2)と(3)の総当たり戦での解き方以外にどんな考え方を使ったら時短で解けるのか。解き方、解答を教えてください。

$(2),(3)$共にめっちゃすっきりしてクレバーな解き方があるかと言ったら、そうでもなさそうですが、なるべく時短で解けるであろう方法で解いてみます

$(2)$

$b=3$より、$B$は$3$の倍数の集まりができます。すると、$A$にはすでに$3,6,9$の$3$数があるのでちょうど残り一つ$3$の倍数を作ればいいですね。

$a,a+2$をみてみると、これは$3$で割った余りが両者で等しくないのでその余りが$0か1$である数を代入するだけで良いことになります。$(3$の倍数が同時に二つできないという事$)$よって$a$の範囲より、それを満たす数は$10,12,13$の$3$つです。

$∴ \ \ a=10,12,13$

$(3)$は題意より、$a,b,c$同士の影響も鑑みなければなりませんが、なるべく$3$つがそれぞれ最小になるように考えたいですので、まずは$a$から

$a=10$が一番小さそうですね、これは直ぐにわかります$(さらにb,cに影響していないのでこれで確定)$

次は$b,c$ですが、問題文を見ると　すべての共通部分が$12,20$だけであることが分かります。ということは、

$Bはbの倍数となるので、12と20もbの倍数である必要があるので$

$$bは12と20の公約数$$

$Cはその要素がcの約数なので、12と20をc$の約数に含んでいなければなりませんね。ということは

$$cは12と20の公倍数$$

が各々の集合の定義から分かります。

それではまず$c$からみてみます、ここは最小公倍数である$60$をひとまず考えるべきでしょう。ここで大事なのは、次の$b$の選び方です。$c=60$

ということは、その約数である

$$1,3,6,10,12,20$$

も当然含まれてきます。上記の要素は現時点で$AとC$に同時に含まれているのを列挙したものです。ここままだと余計な　$1,3,6,10$が邪魔になってしまいますね。ですから$b$を適切にとることで題意を満たしたいと思います。そもそもの$b$の条件からすでに$b=2,4$の$2$つしかないので$1,3,6,10$をすべて排除できる方を選ぶとすれば、$b=4$の方ですね。$b=2$の方だと、$6や10が$含まれてしまいます。

文章だらけで分かりにくいので一旦、現時点で要素を確認してみます↓

$$A=\{1,3,6,7,9,10,12,20\}$$

$$B=\{4,8,12,16,20\}$$

$$C=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20\}$$

見てみるとこれは題意を満たしていますので、組として$(10,4,60)$はアリですね。ではこれ以上に最小となるような組は存在するかということですが、これは途中で言っておくべきことだったかもしれませんが、$c$は$12と20$の公倍数でしたので$c$の選び方で$b$がより小さくなる可能性を考えるべきです。ですが、お分かりの通り$c=60$のときも、$c=120$のときも、$c=60n (n\in \mathbb{N})$のときも

$$C=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20\}$$

です。ということは$bには$なんら影響はないという事になりますので、上のやつが最小の組であることの裏付けが取れました。

$$∴(a,b,c)=(10,4,60)$$

なるべく丁寧に解説をしたので解答という感じではないかもですが、お役に立てれば幸いです！

解答する際には、特に$b,c$の決定がポイントになってくるはずなので、$bとcの満たすべき条件さえしっかり$明記できていればいいと思います。