2(a+2b)c² + 2(b+2c)a² + 2(c+2a)b² + 9abcを因数分解せよ。という問題の解説をしてください

因数分解は結局 “山カン” ですが，それでも解法らしい解法を与えるとしたらたとえば下のようにできます。

与式は全項が次数 $3$ の多項式なので

$$(x_1 a + x_2 b + x_3 c)(y_1 a + y_2 b + y_3 c)(z_1 a + z_2 b + z_3 c)$$

の形に因数分解できるだろうと予想します。

さらに $a^3, b^3, c^3$ の項が現われないことに注意すると

$$(x_1 a + x_2 b)(y_2 b + y_3 c)(z_1 a + z_3 c)$$

の形になるはずです。

・$a^2b$ の係数を比較すると $x_1 y_2 z_1 = 2$

・$a^2c$ の係数を比較すると $x_1 y_3 z_1 = 4$

が得られ，よって $y_2 : y_3 = 1 : 2$ を得ます。

同様にして

$$x_1 : x_2 = y_2 : y_3 = z_3 : z_1 = 1 : 2$$

を得ます。

だから与式はある定数 $C$ を使って

$$C(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a)$$

の形に分解できるはずです。

改めて $a^2b$ の係数を比較すれば，$2C = 2$ つまり $C = 1$ を得ます。