複雑な漸化式において、答えが予想できた場合、「その答えを代入して正しかったので、それが答えである」としてよいのでしょうか

Question

複雑な漸化式において、答えが予想できた場合、「その答えを代入して正しかったので、それが答えである」としてよいのでしょうか。例えば数列 $b_{n}$ が

$b_{1}=\dfrac{1}{3}, b_{n+1}=\dfrac{(n^{2}+3n+3)b_{n}+1}{-b_{n}+(n^{2}+3n+3)}$

と表されていたとして、 $b_{n}=\dfrac{n}{n+2}$ を代入すれば成立することは容易に確かめられますが、これで以って回答を終えてよいのでしょうか。

https://manabitimes.jp/math/697#2 には似たようなことが書いてありますが、

もしこれで終えてよいのであれば、数学的帰納法までする必要がないので楽だと思いました。

@Hifumi_Mizuhara · Accepted Answer

一般的には、厳密に「成立するよ」って示すときは数学的帰納法を使った方がいいと思います。

@Nekokaburi · Answer

(外部ページ)

要は、「『この漸化式の一般項はただ一つだけ存在する』ということも同時に証明するなら、数学的帰納法をしなくても代入で示すことができる」ということだと解釈しました。

推測した一般項は、あくまで「成立する一般項のうちの一つを見つけた」にすぎず、この漸化式の一般項がただ一つしか存在しないことを示す必要が出てきてしまうということです。

xとyの二元一次方程式を解く時、x,yに適当に数を代入して成り立ったからと言って、それが解だと書いても正解とはならないことと同じだと思えば、納得されるのでは無いでしょうか。

ちなみに、この形の漸化式は、第n+2項が第n+1項と第n項によって定められるので、いつも一意に定まることは明白ですので、「ちゃんと一意性考慮してますけど〜」というアピールをするなら、代入だけで済ませてみても良いのかもしれません。

尤も、私にはそんな勇気はないので、数学的帰納法で確実に点数もらいに行きます。

それに、そんな解答に出会ったとして、採点する羽目になったらと思うと、頭が痛すぎて想像したくありませんね…。採点者泣かせな答案だと思います(・・;;)

それと余談ですが、質問者さんが引き合いに出した記事は「漸化式の一般項を求める問題の解説」ではなく「このタイプの漸化式の一般項ってこの形になるよね」の説明をするための記述なので、解答としての正しさ云々の議論に持ち出さない方がよいような気がします。

もし気になるようでしたら、サイト内に質問や指摘等ができる連絡フォームがあったはずなので、著者に真意を問うのもいいかもしれませんね。