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    @Yuu0727

    2025/2/27 18:45

    1 回答

    今日受けた入試の問題です。

    解き方が分かりません。

    回答よろしくお願いします。

    1. 高校生
    2. 数学
    3. 数学Ⅲ
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    回答（1件）

    @youtaiguankou5

    2025/2/28 3:06

    et2e^{t^2}をttについて微分すると2tet22te^{t^2}より

    ∫01+h2tet2 dt=[et2]01+h=e(1+h)2−1\int_{0}^{1+h} 2te^{t^2}\ dt=\left[ e^{t^2} \right]^{1+h}_{0}=e^{(1+h)^2}-1

    となり与式のlogの中身は以下のように変形できる

    lim⁡h→0(e(1+h)2−1e−1)1h=lim⁡h→0(1+e(eh(h+2)−1)e−1)1h\lim_{h \to 0} (\dfrac{e^{(1+h)^2}-1}{e-1})^\dfrac{1}{h}=\lim_{h \to 0}(1+\dfrac{e(e^{h(h+2)}-1)}{e-1})^\dfrac{1}{h}

    =lim⁡h→0(1+e(eh(h+2)−1)e−1)e−1e(eh(h+2)−1)・1h・e(eh(h+2)−1)e−1=\lim_{h \to 0}(1+\dfrac{e(e^{h(h+2)}-1)}{e-1})^{\dfrac{e-1}{e(e^{h(h+2)}-1)}・\dfrac{1}{h}・\dfrac{e(e^{h(h+2)}-1)}{e-1}}

    =e1h・e(eh(h+2)−1)e−1=e^{\dfrac{1}{h}・\dfrac{e(e^{h(h+2)}-1)}{e-1}}となり


    与式=lim⁡h→0ee−1・eh(h+2)−1h、lim⁡h→0eh−1h=1=\lim_{h \to 0}\dfrac{e}{e-1}・\dfrac{e^{h(h+2)}-1}{h}、\lim_{h \to 0}\dfrac{e^h-1}{h}=1より

    lim⁡h→0ee−1・eh(h+2)−1h=lim⁡h→0ee−1・(h+2)eh(h+2)−1h(h+2)\lim_{h \to 0}\dfrac{e}{e-1}・\dfrac{e^{h(h+2)}-1}{h}=\lim_{h \to 0}\dfrac{e}{e-1}・(h+2)\dfrac{e^{h(h+2)}-1}{h(h+2)}

    =ee−1・2・1=2ee−1=\dfrac{e}{e-1}・2・1=\dfrac{2e}{e-1}


    読みづらくなってしまいすみません。



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