＜問題＞(質問は最下部にあります。)

自然数n,kが$1 \leqq k \leqq n$を満たすとする。

不等式$$tan(1) \leqq |tan(k)|$$ を満たすkの個数を$N(n)$とするとき、

次の極限値を求めよ。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{N(n)}{n}$$

※$tan(1)$は、$tan(1[rad])$を表す。

<解答>(厳密ではないと思います。)

方程式$tan(1)=|tan(x)|$ $(x \geqq 0)$の解は、

自然数$l$を用いて$x=(l-1) \pi +1 , l \pi -1$と表せる。

したがって、不等式$$tan(1) \leqq |tan(x)|$$の解は自然数$l$を用いて、

$$(l-1) \pi +1 \leqq x \leqq l \pi -1$$と表せる。

この解の区間の長さは$\pi-2$であるので、

$(l-1) \pi +1$の小数部分が0より大きく、4-$\pi$より小さければ区間内に整数は1つ存在し、

$(l-1) \pi +1$の小数部分が0または4-$\pi$以上(1未満)であれば区間内に整数は2つ存在する。

次に、$l$の取りうる値の範囲を調べる。

$1 \leqq k \leqq n$なので、$l \pi -1 \leqq n$

整理して、$l \leqq \frac{n+1}{\pi}$

これを満たす最大の整数を$l_{max}$とする。($l_{max} = \left\lfloor\frac{n+1}{\pi}\right\rfloor$)

また、ワイルの一様分布定理から、$(l-1) \pi +1$の小数部分は区間$[0,1)$上で一様分布するので、$N(n) \fallingdotseq (4-\pi)l_{max} \cdot 1 + (1-(4-\pi))l_{max} \cdot 2$

$N(n) \fallingdotseq l_{max}(\pi -2)$

以上より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{N(n)}{n}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{l_{max}(\pi -2)}{n}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(\pi -2)\left\lfloor\frac{n+1}{\pi}\right\rfloor}{n}$

$=\frac{\pi -2}{\pi}$

ワイルの一様分布定理を使わずにこれを解く方法はありますか？