高校数学です。よろしくお願いします。$a_n+1$のn+1は添字です。すみません

$f(x)=(x+p)^2 +q-p^2$のため$f(x)$の軸は$x=-p$

$|f(a_{n+1})-m|<|f(a_{n})-m|$は、$f(a_{n})$より$f(a_{n+1})$の方が$m$に近い、

$a_{n}$より$a_{n+1}$の方が軸である$-p$に近い、と言い換えることができる。

そのため$|a_{n+1}-(-p)|<|a_{n}-(-p)|$が示せればよい。

$f'(x)=2x+2p$、$a_{n+1}=-rf'(a_{n})+a_{n}$のため

$a_{n+1}=-r(2a_{n}+2p)+a_{n}$となり、両辺に$p$を足し絶対値をとると

$|a_{n+1}+p|=|-2r(a_{n}+p)+(a_{n}+p)|=|(a_{n}+p)(1-2r)|$

$0<r<1/2$　より　

$0<1-2r<1$　となるが$|a_{n}+p|=0$の時

$|(a_{n}+p)|(1-2r)=|a_{n}+p|$となってしまうため$|a_{n}+p|≠0$を示す。

($1-2r$は正とわかったので絶対値の外に出しました。)

$|a_{n+1}+p|=|(a_{n}+p)|(1-2r)$より

$|(a_{n}+p)|=(1-2r)^{n-1}|(a_{1}+p)|=|p|(1-2r)^{n-1}$より

$p≠0$の時$|a_{n}+p|≠0$であるから

$|(a_{n}+p)|(1-2r)<|a_{n}+p|$　

よって$|a_{n+1}+p|<|a_{n}+p|$が言えたため題意は示された。

説明が下手でわかりにくいかったらすみません。

質問に関係ないですけど添え字の$n+1$の書き方はこうです。

$a_{n+1}$

↑

＄a_{n+1}＄