この問題、何から何までほんとに分かりません。

平面上の運動 $\vec{x}(t) = (x(t),y(t))$ に対して

速度 $v$ は $$\vec{v}(t) = (x'(t),y'(t))$$

その大きさ, または速さは $$|\vec{v}|(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}$$

加速度 $a$ は $$\vec{a}(t) = (x''(t),y''(t))$$

その大きさは $$|\vec{a}|(t) = |\vec{a}(t)| = \sqrt{(x''(t))^2+(y''(t))^2}$$

また, 半径 $R$ の円運動 $\vec{x}(t) = R(\cos(\theta(t)),\sin(\theta(t)))$ に対して

角速度 $\omega$ は $$\omega(t) = \theta'(t)$$

以上をふまえた上での説明. 見やすさの都合で $\theta(t) = (\pi t^2)/4$ とおく.

($\rm{i}$) $t$ が $0$ から $2$ まで動くとき, $\theta(t)$ は $0$ から $\pi$ まで連続的に動くことに注意して, $\vec{r}(t)$ の軌跡を描く.

($\rm{ii}$) ($\rm{iii}$) ($\rm{iv}$) 計算する.

($\rm{v}$) 計算する. ヒントのように $\vec{e}_1(t) = (\cos(\theta(t)),\sin(\theta(t)))$, $\vec{e}_2(t) = (-\sin(\theta(t)), \cos(\theta(t)))$ とおくと, ($\rm{iv}$) の結果より $\vec{a}(t) = \pi \vec{e}_2(t) - ((\pi^2 t^2)/2) \vec{e}_1(t)$ となり, 内積の関係を用いると計算がすこし簡単になる.

($\rm{vi}$) 計算する. $\vec{r}(1)$, $\vec{v}(1)$, $\vec{a}(1)$ を $\vec{e}_1(1)$, $\vec{e}_2(1)$ を用いて表すと図示しやすい. $\vec{e}_1(1)$ は中心から見て $\vec{r}(1)$ の方向, $\vec{e}_2(1)$ は $\vec{e}_1(1)$ を正の向きに $\pi/2$ 回転させた方向(したがって円運動の接線方向), $-\vec{e}_1(1)$ は円運動の中心方向であることに注意する.

($\rm{vii}$) 計算する. 問題文の $v^2/R$ は $v^2/2$ の誤記.

($\rm{viii}$) 運動方程式 $m\vec{a}(t) = \vec{F}(t)$ について $m = 3$ として $\vec{F}(t) = (\vec{F}_x(t), \vec{F}_y(t))$ を求める. $|\vec{F}(t)| = \sqrt{(\vec{F}_x(t))^2 + (\vec{F}_y(t))^2}$ を計算してグラフを描く. $|\vec{F}(t)| = |3\vec{a}(t)| = 3|\vec{a}(t)|$ と ($\rm{v}$) を用いると $|\vec{F}(t)|$ を簡単に計算できる.

($\rm{ix}$) 重力加速度を $g$ とする. 滑ることなく走り切ったことから, 車が地面から受けた摩擦力は最大静止摩擦力以下である, すなわち

$$|\vec{F}(t)| \leq \mu (3g).$$

が成り立つ. $t = 2$ で $|\vec{F}(t)|$ が最大値をとることに注意して, この式をつねに満たすような $\mu$ の下限を求める.

といった感じだと思うのであとは計算してください.