赤玉3個、青玉3個、緑玉3個を円形に並べる時円順列は何通りできますか？

長さ $n$ の順列 $X$ が与えられたとき，$X$ を右へ $0$ 要素分回転した順列，$1$ 要素分回転した順列，……，$n - 1$ 要素分回転した順列の集合を $O(X)$ と書き，$X$ の軌道と呼ぶことにします。また，$O(X)$ の要素数を軌道の長さと呼ぶことします。

(たとえば，$X = RBBG$ ならば，$X$ の軌道は $O(X) = \{RBBG, GRBB, BGRB, BBGR\}$ で，軌道の長さは $4$。)

円順列の場合，同じ軌道に含まれる $2$ つの順列は同じであると見なされます。

(たとえば $BGRB \in O(RBBG)$ だから，$RBBG,BGRB$ は同じ円順列。)

だから円順列を数え上げることは，順列の軌道を数え上げることに同じです。

いまの問題の場合，赤玉 $3$ 個，青玉 $3$ 個，緑玉 $3$ 個を普通の順列として並べる仕方の数は，

$$\newcommand{\comb}[2]{_{#1}\mathrm{C}_{#2}} \comb{9}{3} \times \comb{6}{3} \times \comb{3}{3}= 1680。$$

$1680$ 個のうち，ほとんどの順列は長さ $9$ の軌道をもちますが，例外的に長さ $3$ の軌道をもつ順列が存在します。次の $6$ つです：

$$\begin{aligned}& RBGRBGRBG,\ GRBGRBGRB,\ BGRBGRBGR \\& RGBRGBRGB,\ BRGBRGBRG,\ GBRGBRGBR\end{aligned}$$

したがって，赤玉 $3$ 個，青玉 $3$ 個，緑玉 $3$ 個を円順列として並べる仕方の数は，

$$\begin{aligned}& \frac{(軌道の長さが\ 3\ の順列の個数)}{3} + \frac{(軌道の長さが\ 9\ の順列の個数)}{9} \\&= \frac{6}{3} + \frac{1680 - 6}{9} = 188。\end{aligned}$$

一応計算機で検算してみると，たしかに答えは $188$ で，$188$ 個を具体的に書き出すと下の写真のとおりになります。