このやり方だと、答えがもう一つθ＝π+2nπもあるのですが

この置換方法がcosθ=-1($θ=π+2nπ$)で定義されていないためです。

導出する過程を見れば納得されるかと思います。(※図参照)

この置換方法は数学Ⅲの置換積分でよく利用されますが、その際には積分区間に注意して使用します。

$θ=π+nπ$では不連続ですし、cosθ=-1($θ=π+2nπ$)では定義されていませんし…何かと危なっかしい変形です。

値を求めることを主とした…例えば方程式を解くような問題では、極力利用しない方が得策でしょう。

ちなみに、与式の両辺にcosθをかけて因数分解していく方法だと、ちゃんとcosθ=-1も出てくるので、すべての解を導く事ができますよ。