画像の数列に関して、答えを予想し、数学的帰納法で証明するという流れで記述しようと考えています。すなわち数列$\left\

Question

画像の数列に関して、答えを予想し、数学的帰納法で証明するという流れで記述しようと考えています。すなわち数列 $\left\{z_{n}\right\}$ を $z_{n}=x_{n}-y_{n}$ と定義し

$z_{1}=0, z_{2}=1, z_{3}=3, z_{4}=6, z_{5}=10, z_{6}=15$

となることから、 $z_{n}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ となると予想できます。（模範解答を見ると、いきなり数学的帰納法で答えを予想している方法は掲載されていなかったが、たしかに $z_{n}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ で正解のようでした。）

さて、ここからどのように証明すればよいかわかりません。具体的には

1. $n=1, 2, 3$ の場合に成立することを示す

2. $n=3k-1$ のときに正しいことを仮定する。すなわち $z_{3k-1}=$ ～～であると仮定する。

3. このとき同時に $x_{3k-1}=$ ～～であると仮定される。

4. $n=3k$ のときに正しいことを示す。

で十分だと思うのですが、3パターンに分かれている数列は見たことがないので、証明が合っているか自信がありません。

・ $n=2, 3$ の場合の証明は必要あるという認識で良い？

・ $n=3k-2, 3k-3$ のときの仮定をおく必要はないという認識で良い？

以上、ご回答をお待ちしております。

※出典は2022年の京都大学の理系数学第6問です

Accepted Answer

帰納法の「ドミノ倒し」がうまく働くか確かめてみます。  いま次のこと： ・$n = 1,2,3$ で成立すること ・$n = 3k - 1$ で成立のとき $n = 3k$ で成立すること が証明できているとすれば， ・$n = 1,2,3$ では明らかに成立。 ・すでに成立が示されているもののなかで $n = 3k - 1$ の場合に合致するのは $n = 2$ の場合のみ。だから $n = 3$ での成立が導かれるが，これ以上なにか導かれることはない。 よって，証明されるのは $n = 1,2,3$ の場合のみだと分かります。  「ドミノ倒し」が自然数全体に行き及ぶためには，次を証明すればよいです。 ・$n = 1,2,3$ で成立すること ・$n = 3k - 2$ で成立のとき $n = 3k + 1$ で成立すること ・$n = 3k - 1$ で成立のとき $n = 3k + 2$ で成立すること ・$n = 3k$ で成立のとき $n = 3k + 3$ で成立すること （つまり，$n = 3q + r \quad (0 < r \leqq 3)$ と分解して，$r = 1,2,3$ の各場合について $q$ 上の帰納法をおこなうということです。）  質問の意図を読み違えている箇所などありましたらどうぞ指摘してください。