解決済み
数学の質問です。
教科書に、が双曲線であるかを議論するところがあり、は双曲線であると仮定して、証明をしていたのですが、「曲線が双曲線の定義を満たすとすると、その焦点は上にある。」と言う文がありました。なぜ「曲線が双曲線の定義を満たすとすると、その焦点は上にある。」と言えるのでしょうか？双曲線の定義「平面上で定点、からの距離の差がでなく一定である点の軌跡を双曲線と言う。（この点、を双曲線の焦点と言う。但し、焦点、からの距離の差は線分の長さより小さいとする。）」からは焦点は上だと言えないのではないのですか？
回答宜しくお願いします。
ベストアンサー
削除済みユーザー
2023/10/15 20:02
双曲線はその定義から， 焦点を結ぶ直線に対して必ず線対称です。よって，線対称性をもつ或る曲線が双曲線であるとすれば，その焦点は対称軸の上になければなりません。
今、気付いたのですが、（日本語がおかしいかも知れませんが、）上にある、或る点の座標をとすると、座標はと表せて、更に、上にある別の点の座標をとすると、座標はと表せるから、はを軸として線対称であると言えると言うことでしょうか！？
削除済みユーザー
そうですね。 に対して（その 成分を入れ換えた） が双方ともに曲線 上にある，ということから線対称性はいえます。
同じことですが，変換 に対して，曲線 は不変である（実際，方程式 中の を入れ換えると となり，元の方程式と同値である）から，線対称性をもつと言ってもよいです。
質問者からのお礼コメント
大変助かりました！！！
ありがとうございます！！