解決済み
century21

写真についてですが、「左辺がpの倍数でqがpと互いに素であることから、3はpの倍数である」と書かれていますが、「pは3の倍数」であるという見方をできないのはなぜでしょうか？

添付画像1
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回答 2件

ベストアンサー

manimani1

pp が3の倍数であるとすると、

ある自然数aを用いて p=3ap=3a と表すことができますが、q3q^3 が aa の倍数にならなくてはいけません。

そうなると、qq は aa の倍数であるので、 pp と qq が互いに素であることに矛盾してしまいます。

補足

a≠0a\neq0 の条件が外れてますね;;

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  • century21

    回答ありがとうございます。

    qがaの倍数になるというのは(結局条件と矛盾していますが)この写真の(i)のような計算で導かれるということがわかりました。ここで質問が2つあるのですが、p(2p²+11pq)=3q³という式は「pは3の倍数である(i)」という見方と「3はpの倍数である(ii)」という2つの見方ができると思います。先程(i)はp,qが互いに素であるという条件と矛盾するから(i)は成り立たないということがわかりましたが、①このことから残された(ii)が成り立つのは明らか((ii)が成り立つことを証明するまでもない)ですか？②写真の下のように(ii)が正しいことを背理法を使って示そうとしたのですが、自分の力では、正しいということは示さなかったのですが、「矛盾しているとは言えない」という結論が出てたのですが、背理法において「矛盾していない」という結論は題意の条件が成り立つということを示したことになるのでしょうか？


    補足:(ii)の式において3がpの倍数であることよりp=3aと変形しています。

    添付画像1
  • manimani1

    ①　@DoubleExpYui さんがいうように、p,qp,q が互いに素なので

    3q33q^3 が pp の倍数になるときに pp に対応するのが "3" の部分なので、

    (ii)は成り立つことがわかります;;


    ②　背理法で仮定が矛盾していない場合は、必ずしも題意の条件が示されたわけではありませんね;;

    その場合はその仮定が成り立っているということ以外はわかりません

  • century21
    お礼

    ありがとうございますありがとうございます

DoubleExpYui

両辺比較したときに、p,qp,qが素であるから


左辺のppに対応するのが「3の方」である


ということを言っています。


結局ppは3の倍数であると結論付けられるので"「pは3の倍数」であるという見方をできない"わけではないです。

個人的にはこの解答はあまり書き方が良くないようには思います。


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  • century21

    回答ありがとうございます。

    >結局、pは3の倍数であると結論付けられるので"「pは3の倍数」であるという見方をできない"わけではないです。<


    ＠manimani 1さんが回答してくださったように、pが3の倍数であることはp,qが互いに素であるということに矛盾していると示せたので、今回の場合pは3の倍数ではないですか？「pは3の倍数」という見方ができないわけではないというのは、式をパッと見たときの話ですか？

  • DoubleExpYui

    質問：「pは3の倍数」であるという見方をできないのはなぜでしょうか？


    に対する回答が、「"「pは3の倍数」であるという見方をできない"わけではないです。」ですよ。


    左辺がp×(略)p\times(\text{略})、右辺が3×q23\times q^2であり、p,qp,qは互いに素だからppは当然3の倍数ですよ。


    と、そう書いたつもりですが。


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