複素数についての質問です。$\sqrt{-1}$を$i$として定義するなら以下の2つの解釈ができると思います。 ①$i^

Question

複素数についての質問です。$\sqrt{-1}$を$i$として定義するなら以下の2つの解釈ができると思います。
①$i^2=i・i=\sqrt{-1}・\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)・(-1)}=\sqrt{1}=1$
②$i^2=(\sqrt{-1})^2=-1$
この2つの考え方のうち②を複素数の定義として採用しているのには都合の良い理由があるのでしょうか？
また、このように2つの解釈がある中で片方を採用することで整合性の持った拡張ができるのならばゼロで割ることの矛盾も解消できる気がしていて、いくつかアイデアを考えているのですが良いアイデアはありませんか？

Enigmathematics · Accepted Answer

一見あってるように見えますが、一般的に①の解釈は間違っています。
完璧な説明ができるかちょっと分かりませんが、簡単に言えばルートの記号の中に勝手に入れ込んじゃだめ！ってことですかね。そんなことができるのは実数の世界だけです。つまり、
$$\sqrt{a}×\sqrt{a}=\sqrt{ab}　は、a,b>0の時だけなのです$$
だから、$\sqrt{-1}・\sqrt{-1}は$
$$\sqrt{-1}・\sqrt{-1}=i・i=-1$$
と計算するべきなんです。なので①の考え方は棄却され、矛盾も何もなくなります

補足: なにか不十分だったりしたら教えてください。完璧な説明が難しかったので…

manimani1 · Answer

$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ という式は $a>0\ , b>0$ の時しか成り立ちませんね..
なので①は3つ目の等号がまちがっています;;
②の真ん中を抜いたやつ（？）が本来の $i$ の定義かとおもいます

eyemask57 · Answer

考え方がおそらく逆だと思います．$\sqrt{-1}$を$i$と定義しているのではなく，$i^2=-1$となるような$i$を$\sqrt{-1}$と定義しています．

さらに言えば複素数$\mathbb{C}$は実数$\mathbb{R}$の直積$\mathbb{R}^2$(ベクトルみたいなもの)で定義できます．$(a,b),(c,d) \in \mathbb{R}^2$について，演算を
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) $ 
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
で定義することによって，$(0,1)*(0,1)=(-1,0)$となります．この$(0,1)$を$\sqrt{-1}$や$i$と定めています．

同様にして，$\varepsilon ^2 =0 \ , \ \varepsilon
eq 0$となるような演算を定めることができますが，この場合でもここで定義した$\varepsilone$で割ることはできないようです．全ての数が任意の数になってしまいます．

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