確率の問題です。問 A,Bの2つのチームが試合を行い、先に3勝したチームを優勝とする。1回の試合でAが勝つ確率は2/3

Question

確率の問題です。

問　A,Bの2つのチームが試合を行い、先に3勝したチームを優勝とする。1回の試合でAが勝つ確率は2/3で、引き分けは起こらないとき、Aが優勝する確率を求めよ。

自分の答案

3つの事象

事象A：3試合目でAの優勝が決まる

事象B：4試合目でAの優勝が決まる

事象C：5試合目でAの優勝が決まる　　に分けられる。

$P(A) = (\dfrac{2}{3})^3= \dfrac{8}{27}$

$P(B) = {}_4\mathrm{C}_3×(\dfrac{2}{3})^3×\dfrac{1}{3}=\dfrac{32}{81}$

$P(C) = {}_5\mathrm{C}_3×(\dfrac{2}{3})^3×(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{80}{243}$

A,B,Cは互いに排反であるから、求める確率は、P(A∪B∪C)=P(A)＋P(B)＋P(C)＝ $\dfrac{8}{27}＋\dfrac{32}{81}＋\dfrac{80}{243}=\dfrac{248}{243}$

となってしまいます。どこが間違っているでしょうか。

@Cocoa9 · Accepted Answer

$P(B),P(C)$の計算が間違っています。 $P(B)$に関して説明すると、この計算式では4回中3回Aが勝利する確率を求めることができますが、Aが最初に三連勝する場合が含まれてしまいます。(4試合目での優勝ではなくなってしまう) 正しくは、  (1) 最初の3試合で、Aが2回勝って1回負ける (2) 4試合目でAが勝ち、優勝が決まる  この手順で計算する必要があります。ですから、 $$P(B) =  \, _3\mathrm{C}_2 	imes ({2 \over 3})^2 	imes {1 \over 3} 	imes {2 \over 3} = {8 \over 27}$$ となります。同様にして、 $$P(C) =  \, _4\mathrm{C}_2 	imes ({2 \over 3})^2 	imes ({1 \over 3})^2 	imes {2 \over 3} = {8 \over 27}$$ が求まるので、求める確率は、 $${8 \over 27} + {8 \over 27} + {16 \over 81} = {64 \over 81}$$ です。 補足: $P(C)$の値は$16 \over 81\ $です。すみません。