この計算の過程と答えが知りたいです。

まずもって質問の内容に矛盾みたいなのがありますね。

1式目はその次との兼ね合いを考えると、$v=v_0-gt$

多分2式目は$y=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2$と書かないといけないと思います。

@kiinaさんが書いてくれた$t=\dfrac{v}{g}　(v=gt)$は初速度がない自由落下を表すもので、$y=vt-\dfrac{1}{2}gt^2$は鉛直投げ上げの式なので、そこにズレが生じてしまうので、説明はできなくなりますが、一般的な

$$v=v_0+at ⇒　y=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$$

これは説明できます

これは積分や微分の考えが必要になってくるのでもしまだ習ってなかったら難しいかもしれません。

変位⇔速度⇔加速度　これらが微分積分の関係で結ばれているということを理解する必要があります。今回は積分を扱います。

そもそも積分とは微小変化の積み重ねのことなのでそれをもとに考えると、

微小変化$Δtにおけるvの積み重ねであるので$、積分してあげて

$$h=\int^{t_1}_{0} (v_0+at)dt$$

よって、$h=v_0t_1+\dfrac{1}{2}at_1^2$

面積を使って簡単に説明したいと思います。結論から言うと黄色の面積こそが

変位に当たる部分なんです。

右の図を見てほしいです。長方形の短冊が面積を網羅するように並んでいます。この短冊一つ一つ(等速運動の変位と見れる)こそが微小時間における変位、つまり積分の考え方なんです。だったら長方形ですからすぐに出ますよね、そして短冊をどんどん細くしていった結果、黄色の部分と一致するわけです。変位は、等速運動の積み重ねでできていると考えれば楽かなと、

この台形の面積は簡単に出ます

$$S=\dfrac{1}{2}(2v_0+at_1)t_1=v_0t+\dfrac{1}{2}at_1^2$$

これで無事？導出ができました。あまり厳密ではないので考え方だけでも覚えていってください

説明が難しくてすみません、分からないことがあれば何でも聞いてくださいね