半径$1$の円に、辺が座標軸に平行な長方形$ABCD$を内接させ、弓形$ABE$を$x$軸の周りに一回転してできる立体の体積を$u$,弓形$BCF$を$y$軸の周りに一回転してできる立体の体積を$v$とします。長方形$ABCD$が変わるとき、$u^2+v^2$の最小値を求められる方はいらっしゃいますか？

何度も回答ごめんね。

計算見直したからこれで最後にします。

原点中心半径1の円を考える。

第一象限円周上に点Aを、さらに反時計回りに点B～点Dをとる。

OAと $x$ 軸のなす角を $\theta$ とすると $0\lt\theta\lt1$ である。

このとき

$$\begin{align*}u&=2\left\{\pi\int_0^{\cos\theta}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2dx-\pi\sin^2\theta\cos\theta\right\}\\&=\dfrac{4}{3}\pi\cos^3\theta\end{align*}$$

$$\begin{align*}v&=2\left\{\pi\int_0^{\sin\theta}\left(\sqrt{1-y^2}\right)^2dy-\pi\sin\theta\cos^2\theta\right\}\\&=\dfrac{4}{3}\pi\sin^3\theta\end{align*}$$

であるから

$$\begin{align*}u^2+v^2&=\dfrac{16}{9}\pi^2\left(\cos^6\theta+\sin^6\theta\right)\\&=\dfrac{16}{9}\pi^2\left(1-3\sin^2\theta\cos^2\theta\right)\\&=\dfrac{16}{9}\pi^2\left(1-\dfrac{3}{4}\sin^22\theta\right)\end{align*}$$

より $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき最小値 $\dfrac{4}{9}\pi^2$