とある京都大学の熱力学の問題で以下の近似式が与えられました。

少々細かい指摘で申し訳ないのですが、

$$\frac{(1+x-y)(1+y)-xy+y^2}{1+y}\simeq \frac{(1+x-y)(1+y)}{1+y}$$

とするのが適切かと思います。$\simeq\$は\simeqというコマンドで書くことが出来ます。これは普通のTexでも同じはずなので覚えておくといいかもしれません。

また、質問者の近似は、よりシステマティックな見方では『多変数関数のマクローリン展開を1次まで実行した』と思うこともできます。1変数関数についてマクローリン展開を知っているのでしたら、多変数関数のマクローリン展開も調べてみても良いかもしれません。

多変数関数でもあるんですね……参考になります！　　あと$\simeq$は注意します(笑)

数学ほど厳密な分野は無いですからね

一応、参考になるサイトを２つほど紹介しておきます。

https://pictblog.com/taymac-5

事実とその具体例のみ知りたい人にはお勧めです。

https://mathlandscape.com/multi-taylor-expansion/

理論的なところをしっかりと書いてくれています。２変数から出発しているので取っ付きやすいと思いますが、追いかけるのは（少なくとも初見の人は）楽では無いかもしれません。

お二方ともご回答ありがとうございます。

添付していただいたサイトを確認したのですが、

未熟故理解に至りませんでした。

もし可能であれば噛み砕いて説明してくださると助かります。(厳密な議論でなくて大丈夫です。)

ちなみに1次変数のマクローリン展開については

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}_{(x)} \dfrac{x^n}{k!}$$

が成り立つことぐらいしか理解できていません。(なぜ成り立つのかもよく理解できていません。)

実は、計算としては1変数のマクローリン展開とあまり変わりません。（ただし、偏微分を理解しておく必要があります。）

1変数において、1次のマクローリン展開は

$$f(x)=f(0)+\frac{df(x)}{dx} |_{x=0}\ x+O(x^2)$$

となりますね。これを２変数でやっても似たようなもので

$$f(x,y)=f(0,0)+\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} |_{x=0,y=0}\ x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} |_{x=0,y=0}\ y+O(x^2,y^2,xy)$$

となります。なんとなく、ノリは分かってもらえるでしょうか。

ただ、1次のマクローリン展開だけを見ると

$$f(x,y)=f(0,0)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\partial^k f(x,y)}{\partial x^k}|_{x=0,y=0} \frac{x^k}{k!}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\partial^k f(x,y)}{\partial y^k} |_{x=0,y=0}\frac{y^k}{k!}$$

なのかと勘違いしそうですが、それは誤りです。2次まで展開すると分かるのですが、微分を2回する方法は実は３通りあります。($x$で２回微分、$y$で2回微分、両方1回微分）

したがって、それぞれを展開の結果として取り込む必要があるわけです。

具体的に書くと

$$f(x,y)=f(0,0)+\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} |_{x=0,y=0}\ x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} |_{x=0,y=0}\ y+\frac{1}{2}\left\{\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} |_{x=0,y=0}\ x^2+\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2} |_{x=0,y=0}\ y^2+\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} |_{x=0,y=0}\ xy\right\}+O(3次)$$

ここまでやれば、なんとなく計算は見えるのかなと思います。

ご丁寧にありがとうございます。

2点質問があります。(何度もごめんなさい)

1)$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ などの後ろについている $x=0,y=0$ という添字のようなものは、偏微分して得た関数に $x=0,y=0$ を代入するという認識で問題ないでしょうか。

2)$O(x^2,y^2,xy)$ とは何を表すのですか？ランダウの記号ですか？ここでは $x^2,y^2,xy$ のように増減し、いずれも二次の微少量だから無視ができるといった具合でしょうか？

両方ともその認識で問題ないです。

ありがとうございます！