京大実戦ですが、(また積分)なぜ自分の解答で正しい軌跡がでないのかが全くわかりません。かれこれ3時間ぐらい悩んでます(時間無駄にした気がして大損)。

点と直線の公式の分母は$√$がつきますね。そこで間違えている気がします。

この問題に対してですが、内心の座標を$(X,Y)$とおき、与えられた条件を満たすように代数的に解く…というのは悪手だと思います。数学的には正しいですが、同値性を保ったまま式変形をするにはかなり煩雑になります。私も途中で諦めました…。$√$を外すには2乗するしかありませんが、勝手に2乗すると同値性が崩れてしまいますよね。

答えとしては、

$$Y=\frac{(1-X)\sqrt{X(2-X)}}{2-X}$$

（だだし$0\leqq X \leqq1$）

になりました。

この問題は幾何で解くのが無難でしょう。三角形の内心を求めるということが1番の理由です。また、$O$と$A$が固定であること、動く点$P$も半径$1$の円周上の点であることから、三角形の2辺の長さ$OA$と$OP$が常に$1$であるということも解きやすくなる設定です。

1番楽に解けるのは、内心の位置ベクトルを使うやり方でしょうか。私は1番最初にこの解法が思い浮かびました。

いずれにせよ、数学の問題を解くにはいろいろなアプローチがあります。どうせなら楽に解ける方法を選べるように、解法・考え方を復習してみましょう。

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