この2元一次方程式の解が一意に定まるためのa、bの必要十分条件の求め方を教えて欲しいです。どのサイトや参考書も行列式でやっており、むかつきます(私は行列を学校で習えてないので)。答えは

まず、東大の過去問で出てくる連立方程式はその式ではありません。以下、出題されている方程式の解について考えることにします。

出題されている方程式は、変数を $x,y$ として

$$\begin{cases}(2-b)x=ay+1 \\(2-b)y=ax+1\end{cases}$$

となります。定数部分は $2\pi$ などほかの値でも同じです。

連立方程式がただ一つの解をもつための必要十分条件は、$xy$ 平面においてその方程式を直線で表したときに、平行でないかつ一致しないことです。

$$\begin{aligned}&\begin{cases}(2-b)x=ay+1 \\(2-b)y=ax+1\end{cases} \\\iff &\begin{cases}(2-b)x-ay=1 \\-ax+(2-b)y=1\end{cases}\end{aligned}$$

平行にならないための必要十分条件は、$x,y$ の係数比が等しくならないことだから、

$$(2-b):(-a)\neq(-a):(2-b) \iff a^2\neq(b-2)^2$$が得られます。

このとき、定数部分が等しいので、平行でなければ一致することはありません。

よって、これが求める条件になります。

行列を用いた解説もそれほど難易度が高いわけではないので、もし必要であれば返信をお願いします。