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物理の質問です。5行目から6行目の式変形でΔtが出てくるのは何故ですか

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まず感覚的な話をします。


v(t+Δt)v(t+\Delta t) は、時刻 tt から微小時間 Δt\Delta t が経過した瞬間の速度です。

加速度は単位時間あたりの速度変化のことです。加速度 a(t)a(t) は微小時間 Δt\Delta t が経過しても変わらないと考えると、この微小時間での速度変化は a(t)Δta(t)\Delta t となります。

つまり、v(t+Δt)=v(t)+a(t)Δtv(t+\Delta t)=v(t)+a(t)\Delta t

が成り立ちます。



続いて数学的な話をします。


関数 f(x)f(x) を、ある点 x=ax=a の周りで 11 次近似を行うことを考えます。

11 次近似とは、曲線上の点における接線で近似するということです。

y=f(x)y=f(x) 上の点 (x,f(x))(x,f(x)) における接線の方程式は y=f(a)(xa)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a) なので、

f(x)f(a)+f(a)(xa)f(x)\fallingdotseq f(a)+f'(a)(x-a)

という近似を得ます。


近似する次数を上げることで、近似の精度を上げることができます。詳しくは、テイラー展開で調べてみてください。

微小時間 Δt\Delta t22 乗以降が無視できるほど小さいので、ここでは 11 次近似で十分です。


ここで、速度 v(t)v(t) を時刻 tt で微分すると加速度 a(t)a(t) になるので、

x=t+Δt,a=tx=t+\Delta t, a=t とすることで、

v(t+Δt)=v(t)+a(t)Δtv(t+\Delta t)=v(t)+a(t)\Delta t

を得ます。


補足

11 次近似のところ、曲線上の点は (x,f(x))(x,f(x)) ではなく (a,f(a))(a,f(a)) です。

失礼いたしました。

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