物理の質問です。5行目から6行目の式変形でΔtが出てくるのは何故ですか

Question

@sHlcNRe46 · Accepted Answer

まず感覚的な話をします。

$v(t+\Delta t)$ は、時刻 $t$ から微小時間 $\Delta t$ が経過した瞬間の速度です。

加速度は単位時間あたりの速度変化のことです。加速度 $a(t)$ は微小時間 $\Delta t$ が経過しても変わらないと考えると、この微小時間での速度変化は $a(t)\Delta t$ となります。

つまり、 $v(t+\Delta t)=v(t)+a(t)\Delta t$

が成り立ちます。

続いて数学的な話をします。

関数 $f(x)$ を、ある点 $x=a$ の周りで $1$ 次近似を行うことを考えます。

$1$ 次近似とは、曲線上の点における接線で近似するということです。

$y=f(x)$ 上の点 $(x,f(x))$ における接線の方程式は $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ なので、

$f(x)\fallingdotseq f(a)+f'(a)(x-a)$

という近似を得ます。

近似する次数を上げることで、近似の精度を上げることができます。詳しくは、テイラー展開で調べてみてください。

微小時間 $\Delta t$ は $2$ 乗以降が無視できるほど小さいので、ここでは $1$ 次近似で十分です。

ここで、速度 $v(t)$ を時刻 $t$ で微分すると加速度 $a(t)$ になるので、

$x=t+\Delta t, a=t$ とすることで、

$v(t+\Delta t)=v(t)+a(t)\Delta t$

を得ます。

補足

$1$ 次近似のところ、曲線上の点は $(x,f(x))$ ではなく $(a,f(a))$ です。

失礼いたしました。