こちらの解き方を教えていただきたいです。

解説に載るような正攻法としては、次のとおりです。

$16$ %の食塩水を $x$ g混ぜるとすると、$8$ ％の食塩水は $(500-x)$ g混ぜることになります。

混ぜた食塩水の質量パーセント濃度を考えると、食塩の質量に関して次の不等式が立ちます。

$$\dfrac{9}{100}\times500\leqq\dfrac{16}{100}x+\dfrac{8}{100}(500-x)\leqq\dfrac{10}{100}\times500$$

これを解いて $\dfrac{125}{2}\leqq x\leqq125$ となるから、求める質量は $\dfrac{125}{2}$ g以上 $125$ g以下である。

求めるだけであれば、$16$ と $8$ を逆比に内分、つまり $(500-x):x$ に内分した点が $9$ 以上 $10$ 以下になればよいので、

$$9\leqq\dfrac{16x+8(500-x)}{(500-x)+x}\leqq10$$

となり、同じ解答が得られます。