(間違ってたら申し訳ありません。)
Proof
ベクトル x が一次独立な n個のベクトル {a1, a2, …, an}で二通りに表現できるとする。つまり、
x=j=1∑nαjaj=j=1∑nβjaj
と出来るとする。(ただし、αj, βjは実数。)
このとき、
j=1∑n(αj−βj)aj=0
が成り立つ。ここで、 {a1, a2, …, an}が一時独立であることを担保するためには、すべてのjで
αj=βj
が成り立つべき。もしそうでなければ、γj=(αj−βj) としたときに、γk=0なる k において
ak=−γ1kj=k∑γjaj
となり、一次独立性が崩れる。
なお、
αj=βj
は、xの表現が一意であることに等価。ゆえに、題意は示された。□
質問者からのお礼コメント
助かりました。ありがとうございます。