$n$次元実ベクトル空間において、任意のベクトル$\mathbf{x}$は一次独立な$n$個のベクトルの一次結合で一意に表されることを示したいのですが、助けてください。

（間違ってたら申し訳ありません。）

$\underline{Proof}$

ベクトル$\ \bm{x}\$が一次独立な$\ n$個のベクトル$\ \{\bm{a}_1,\ \bm{a}_2,\ \dots ,\ \bm{a}_n\}$で二通りに表現できるとする。つまり、

$$\bm{x}=\sum_{j=1}^{n} \alpha_j \bm{a}_j =\sum_{j=1}^{n} \beta_j \bm{a}_j$$

と出来るとする。（ただし、$\alpha_j,\ \beta_j$は実数。）

このとき、

$$\sum_{j=1}^{n} (\alpha_j-\beta_j)\bm{a}_j=0$$

が成り立つ。ここで、$\ \{\bm{a}_1,\ \bm{a}_2,\ \dots ,\ \bm{a}_n\}$が一時独立であることを担保するためには、すべての$j$で

$$\alpha_j=\beta_j$$

が成り立つべき。もしそうでなければ、$\gamma_j = (\alpha_j-\beta_j)\$としたときに、$\gamma_k \neq 0$なる$\ k\$において

$$\bm{a}_k = -\frac{1}{\gamma}_k\sum_{j\neq k}\gamma_j \bm{a}_j$$

となり、一次独立性が崩れる。

なお、

$$\alpha_j=\beta_j$$

は、$\bm{x}$の表現が一意であることに等価。ゆえに、題意は示された。□