写真の式がどのように導出されてるのか分からないので、詳しく解説できる方いましたらよろしくお願いします。

$$\begin{aligned}U&=2\times\dfrac{1}{2}k\{ \sqrt{l^2(1+a)^2+x^2}-l \}^2 \\&=kl^2\{ \sqrt{(1+a)^2+\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^2}-1 \}^2\end{aligned}$$

となります。

$y$ に関する関数 $f(y)=\sqrt{(1+a)^2+y}$ とおくと、$f'(y)=\dfrac{1}{2\sqrt{(1+a)^2+y}}$ であり、$f(y)$ のマクローリン展開を考えると、

$$\begin{aligned}f(y)&=f(0)+f'(0)y+O(y^2) \\&=1+a+\dfrac{1}{2(1+a)}y+O(y^2) \quad(1+a>0 \text{ とした。})\end{aligned}$$

です。ここで、$O(y^2)$ はランダウの記号で、$y\to 0$ のときに $y^2$ と同じまたはより速くに $0$ に収束するという記法です。

この $f(y)$ に $y=\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^2$ を代入すると、

$$\sqrt{(1+a)^2+\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^2}=1+a+\dfrac{1}{2(1+a)}\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^2+O\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^4$$

となって、

$$\begin{aligned}U&=kl^2\{ a+\dfrac{1}{2(1+a)}\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^2+O\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^4 \}^2 \\&=kl^2\{ a^2+\dfrac{a}{1+a}\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^2+O\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^4 \}\end{aligned}$$

となり解答例の式を得ます。

ランダウの記号では最高次の項のみを考えればよいため、$O\Bigl(\dfrac{x}{l}\Bigr)^4$ のみで結構です。