この問題がわからないので教えて欲しいです。方針だけでも嬉しいです。(ただ、(1)は厳密な回答をお願いいたします🤲)

　多分、幾何的に解くのが本来だと思われますが、代数的に解くとき使えるかも知れないことを箇条書きで。

１．もし (2), (3) を代数的に解くなら

$$\begin{cases}x = x' + y' \\y = x' - y'\end{cases}$$

と変換すると議論がややスッキリします。この変換は幾何的に解釈するなら $xy$ 座標系を $45^\circ$ 回転させた $x'y'$ 座標系へと移ることに相当し、元の座標系では $(a,-a)$ の位置にあった点が $y'$ 軸上の点へと移るため自然と計算が簡単になります。

２．(1) は代数的に厳密に解くなら次のような感じになると思います：

　$x = 3\cos\theta - 4\sin\theta, y = 4\cos\theta + 3\sin\theta$ について

$$x^2 + y^2 = 25 \tag{1}$$

が成り立つ。$(1)$ の自明な整数解として $(x,y) = (0, \pm 5), (\pm 5, 0)$ がすぐ見つかる。非自明な解を探すため $x \neq 0, y \neq 0$ とする。$(1)$ の右辺は奇数だから、$x,y$ の偶奇は違わなければならない。かりに $x = 2x', y = 2y' + 1$ ならば、$x^2 = (5 + y)(5 - y)$ から

$$x'^2 = (3 + y')(2 - y') \tag{2}$$

となる。$(2)$ の左辺は正だから、$3 + y', 2 - y'$ の符号は同じである。このことから $-2 \leq y' \leq 1$ が分かる。この範囲で解を探して $(x,y) = (\pm 4, \pm 3)$ を得る。$x = 2x' + 1, y = 2y'$ のときも同様にして $(x,y) = (\pm 3, \pm 4)$ を得る。

　ところで一般に、円錐曲線を直線へと投影することでその曲線は有理関数でパラメータ表示される。実際、定点 $(1,0)$ を中心に円周上の点 $(\cos\theta, \sin\theta)$ を $y$ 軸へと投影し、その $y$ 切片を $u$ とすれば、

$$\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{u^2 - 1}{u^2 + 1},& \sin\theta &= \frac{2u}{u^2 + 1}\end{aligned}$$

となり、$(\cos\theta, \sin\theta)$ は $u$ の有理関数で表示される。そうすると

$$\begin{aligned}x &= -3 + \frac{-8u + 6}{u^2 + 1}, &y &= -4 + \frac{6u + 8}{u^2 + 1}, &\therefore \frac{x + 3}{y + 4} &= \frac{-8u + 6}{6u + 8}\end{aligned}$$

となり、これを $u$ について解いて

$$u = \frac{4x - 3y}{3x + 4y - 25} \tag{3}$$

を得る。$\theta$ が $(0, 3\pi/2)$ を動くとき $u$ は $(-1, +\infty)$ を動く。だから $u = (3) > -1$ を満たさない $x,y$ を上で得た解から除いて

$$(x,y) = (0,\pm 5), (-5, 0), (-4, \pm 3), (-3, \pm 4), (3, -4)$$

を得る。